首先有排序不等式:
若a[1] ≥ a[2] ≥... ≥ a[n], b[1] ≥ b[2] ≥...≥ b[n],
則a[1]·b[1]+a[2]·b[2]+...+a[n]·b[n] ≥ a[1]·b[i[1]]+a[2]·b[i[2]]+...+a[n]·b[i[n]].
其中i[1], i[2],..., i[n]是1, 2,..., n的任意一個(gè)排列.
在排序不等式中依次取i[1], i[2],..., i[n]為1, 2,..., n的輪換, 有:
a[1]·b[1]+a[2]·b[2]+...+a[n]·b[n] ≥ a[1]·b[1]+a[2]·b[2]+...+a[n]·b[n],
a[1]·b[1]+a[2]·b[2]+...+a[n]·b[n] ≥ a[1]·b[2]+a[2]·b[3]+...+a[n]·b[1],
a[1]·b[1]+a[2]·b[2]+...+a[n]·b[n] ≥ a[1]·b[3]+a[2]·b[4]+...+a[n]·b[2],
...
a[1]·b[1]+a[2]·b[2]+...+a[n]·b[n] ≥ a[1]·b[n]+a[2]·b[1]+...+a[n]·b[n-1].
相加得n(a[1]·b[1]+a[2]·b[2]+...+a[n]·b[n]) ≥ (a[1]+a[2]+...+a[n])(b[1]+b[2]+...+b[n]).
即得到Chebyshev(切比雪夫)總和不等式.
對(duì)本題取a[k] = x[k], b[k] = 1/y[k], 其中k = 1, 2,..., n.
可知滿(mǎn)足上述不等式的條件.
于是n(x[1]/y[1]+x[2]/y[2]+...+x[n]/y[n]) ≥ (x[1]+x[2]+...+x[n])(1/y[1]+1/y[2]+...+1/y[n]).
再由y[k] ≥ 0, 根據(jù)Cauchy不等式(也可用Chebyshev總和不等式的逆序和一側(cè)):
(y[1]+y[2]+...+y[n])(1/y[1]+1/y[2]+...+1/y[n]) ≥ n².
即有(1/y[1]+1/y[2]+...+1/y[n]) ≥ n²/(y[1]+y[2]+...+y[n]).
又x[1]+x[2]+...+x[n] ≥ 0, 故
n(x[1]/y[1]+x[2]/y[2]+...+x[n]/y[n]) ≥ (x[1]+x[2]+...+x[n])·n²/(y[1]+y[2]+...+y[n]).
即(x[1]/y[1]+x[2]/y[2]+...+x[n]/y[n]) ≥ n(x[1]+x[2]+...+x[n])/(y[1]+y[2]+...+y[n]).