群比半群多了幺元和逆.現(xiàn)在已經(jīng)有幺元,所以只需證明每個元素都有逆.這不是完全顯然的,樓上肯定沒注意到.
假設(shè)G為滿足條件的半群,g∈G.定義映射ϕ:G->G使得ϕ(h)=g*h,則由消去律易知ϕ是單射（假設(shè)ϕ(h1)=ϕ(h2),即g*h1=g*h2,則h1=h2）.ϕ是有限集合G到自己的單射,所以是雙射,特別地也是滿射（這一步依賴于G是有限半群!結(jié)論對無限的情況不成立）.從而存在a∈G使得ϕ(a)=1,即g*a=1,所以a是g的右逆.
同理（令ψ(h)=h*g）可證g存在左逆b使得b*g=1.
由結(jié)合律可知a=b：a=1*a=(b*g)*a=b*(g*a)=b*1=b.所以g有逆.證畢