設(shè)正實(shí)數(shù)a、b、c,滿足a≤b≤c,且a^2+b^2+c^2=9.證明:abc+1>3a
證明：因?yàn)?bc=b^2+c^2-(c-b)^2,所以在a固定的時(shí)候(c-b)^2越大則bc越小,因?yàn)閍≤b≤c,所以當(dāng)b=a,c²=9-2a²時(shí)bc有最小值,即bc≥a√9-2a²,于是abc+1≥1+a²√9-2a²,若a√9-2a²≥3,則abc+1≥1+a²√9-2a²≥1+3a＞3a,命題顯然成立,若a√9-2a²＜3,即a²(9-2a²)＜9,則a²＞3或a²＜3/2,但9=a²+b²+c²≥3a²,即有a²≤3,于是只能取a²＜3/2,于是√9-2a²＞√6,于是abc+1≥1+a²√9-2a²＞1+√6a²≥2*[(6)^1/4]a＞3a(因?yàn)?6＞81),即a√9-2a²＜3時(shí)命題也成立,于是命題成立,證畢.