不多說,用歸約公式：
I_(n) = ∫ cot^n(x) dx = -cot^(n-1)(x) / (n-1) - ∫ cot^(n-2)(x) dx
∴∫ cot^8(x) dx,連續(xù)使用歸約公式
= (-1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) - (1/3)cot³x + cotx + x + C
歸約公式的證明：
∫ cot^n(x) dx
= ∫ cot^(n-2)(x) * cot²x dx
= ∫ cot^(n-2)(x) * (csc²x-1) dx
= ∫ cot^(n-2)(x) * csc²x dx - ∫ cot^(n-2)(x) dx
= -∫ cot^(n-2)(x) d(cotx) - ∫ cot^(n-2)(x) dx
= -cot^[(n-2)+1](x) / [(n-2)+1] - ∫ cot^(n-2)(x) dx
= -cot^(n-1)(x) / (n-1) - ∫ cot^(n-2)(x) dx貌似答案不對啊標(biāo)準(zhǔn)方法是拆開被積函數(shù)：∫ cot^8(x) dx= ∫ cot^6(x) * cot^2x dx= ∫ cot^6(x) * (csc^2x-1) dx= ∫ cot^6(x) * csc^2x dx - ∫ cot^6x dx= -∫ cot^6(x) d(cotx) - ∫ cot⁴x * cot^2x dx= -(1/7)cot^7(x) - ∫ cot⁴x * (csc^2x-1) dx= -(1/7)cot^7(x) - ∫ cot⁴x * csc^2x + ∫ cot⁴x dx= -(1/7)cot^7(x) + ∫ cot⁴x d(cotx) + ∫ cot^2x * (csc^2x-1) dx= -(1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) + ∫ cot^2x * csc^2x dx - ∫ cot^2x dx= -(1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) - ∫ cot^2x d(cotx) - ∫ (csc^2x-1) dx= -(1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) - (1/3)cot^3x - ∫ csc^2x dx + ∫ dx= -(1/7)cot^7(x) + (1/5)cot^5(x) - (1/3)cot^3x + cotx + x + C