當(dāng)外力作用在靜止質(zhì)量為m0的自由質(zhì)點(diǎn)上時(shí),質(zhì)點(diǎn)每經(jīng)歷位移ds,其動(dòng)能的增量是dEk=F·ds,如果外力與位移同方向,則上式成為dEk=Fds,設(shè)外力作用于質(zhì)點(diǎn)的時(shí)間為dt,則質(zhì)點(diǎn)在外力沖量Fdt作用下,其動(dòng)量增量是dp=Fdt,考慮到v=ds/dt,有上兩式相除,即得質(zhì)點(diǎn)的速度表達(dá)式為v=dEk/dp,亦即 dEk=vd(mv)=V^2dm+mvdv,把愛(ài)因斯坦的質(zhì)量隨物體速度改變的那個(gè)公式平方,得m^2(c^2-v^2)=m0^2c^2,對(duì)它微分求出：mvdv=(c^2-v^2)dm,代入上式得dEk=c^2dm.上式說(shuō)明,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的速度v增大時(shí),其質(zhì)量m和動(dòng)能Ek都在增加,質(zhì)量的增量dm和動(dòng)能的增量dEk之間始終保持dEk=c^2dm所示的量值上的正比關(guān)系.當(dāng)v=0時(shí),質(zhì)量m=m0,動(dòng)能Ek=0,據(jù)此,將上式積分,即得∫Ek0dEk=∫m0m c^2dm（從m0積分到m）Ek=mc^2-m0c^2