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    已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1 (a＞b＞0)的離心率為53，定點M（2，0），橢圓短軸的端點是B1，B2，且MB1⊥MB2． （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）設(shè)過點M且斜率不為0的直線交橢圓C于A，B兩點．試問x軸上
    

    已知橢圓C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    ＝1  (a＞b＞0)    的離心率為
    5
    3
    ，定點M（2，0），橢圓短軸的端點是B1，B2，且MB1⊥MB2．
    （Ⅰ）求橢圓C的方程；
    （Ⅱ）設(shè)過點M且斜率不為0的直線交橢圓C于A，B兩點．試問x軸上是否存在定點P，使PM平分∠APB？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
    

    數(shù)學(xué)人氣：900 ℃時間：2020-03-21 19:46:38
    

    優(yōu)質(zhì)解答
    

    （Ⅰ）由 
    5
    9
    ＝e2＝
    a2?b2
    a2
    ＝1?
    b2
    a2
    ，得 
    b
    a
    ＝
    2
    3
    ．…（2分）
    依題意△MB1B2是等腰直角三角形，從而b=2，故a=3．…（4分）
    所以橢圓C的方程是
    x2
    9
    +
    y2
    4
    ＝1    ．…（5分）
    （Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為x=my+2．
    將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，消去x得 （4m2+9）y2+16my-20=0．…（7分）
    所以 y1+y2＝
    ?16m
    4m2+9
    ，y1y2＝
    ?20
    4m2+9
    ．…（8分）
    若PM平分∠APB，則直線PA，PB的傾斜角互補，所以kPA+kPB=0．…（9分）
    設(shè)P（a，0），則有 
    y1
    x1?a
    +
    y2
    x2?a
    ＝0    ．
    將 x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得 
    2my1y2+(2?a)(y1+y2)
    (my1+2?a)(my2+2?a)
    ＝0    ，
    所以 2my1y2+（2-a）（y1+y2）=0．…（12分）
    將 y1+y2＝
    ?16m
    4m2+9
    ，y1y2＝
    ?20
    4m2+9
    代入上式，整理得 （-2a+9）?m=0．…（13分）
    由于上式對任意實數(shù)m都成立，所以 a＝
    9
    2
    ．
    綜上，存在定點P(
    9
    2
    ，0)    ，使PM平分∠APB．…（14分）
    

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