問題1：過點D作DE⊥BC于點E，
∵梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC
∴四邊形ABED是矩形，
∴DE=AB=2，BE=AD=1，
∴CE=BC-BE=2，
∴DC=2

2

，
∵四邊形PCQD是平行四邊形，
若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，
設PB=x，則AP=2-x，
在Rt△DPC中，PD²+PC²=DC²，即x²+3²+（2-x）²+1=8，
化簡得x²-2x+3=0，
∵△=（-2）²-4×1×3=-8<0，
∴方程無解，
∴對角線PQ與DC不可能相等．
問題2：如圖2，在平行四邊形PCQD中，設對角線PQ與DC相交于點G，
則G是DC的中點，
過點Q作QH⊥BC，交BC的延長線于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC=∠DCQ，
∴∠ADP=∠QCH，
又∵PD=CQ，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，
∴AD=HC，
∵AD=1，BC=3，
∴BH=4，
∴當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為4．
問題3：如圖2′，設PQ與DC相交于點G，
∵PE∥CQ，PD=DE，
∴

DG

GC

=

PD

CQ

=

1

2

，
∴G是DC上一定點，
作QH⊥BC，交BC的延長線于H，
同理可證∠ADP=∠QCH，
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，
即

AD

CH

=

PD

CQ

=

1

2

，
∴CH=2，
∴BH=BC+CH=3+2=5，
∴當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為5．
問題4：如圖3，設PQ與AB相交于點G，
∵PE∥BQ，AE=nPA，
∴

PA

BQ

=

AG

BG

=

1

n+1

，
∴G是AB上一定點，
作QH∥CD，交CB的延長線于H，過點C作CK⊥CD，交QH的延長線于K，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠D=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°，∠PAG=∠QBG，
∴∠QBH=∠PAD，
∴△ADP∽△BHQ，
∴

AD

BH

=

PA

BQ

=

1

n+1

，
∵AD=1，
∴BH=n+1，
∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4，
過點D作DM⊥BC于M，
則四邊形ABMD是矩形，
∴BM=AD=1，DM=AB=2
∴CM=BC-BM=3-1=2=DM，
∴∠DCM=45°，
∴∠KCH=45°，
∴CK=CH?cos45°=

2

2

（n+4），
∴當PQ⊥CD時，PQ的長最小，最小值為

2

2

（n+4）．