首先求直線與拋物線的位置關系,設C為其交點坐標,根據(jù)題意,C同時滿足等式⑴Y=X-1和⑵Y=X^2,即:X^2=X-1.
根據(jù)求根公式：x=[-b±√(b^2-4ac)]/(2a),X=1/2±√(1-4)/2.沒有實根,所以直線和拋物線不可能有交點,即不存在點C.另一方面,可以證明拋物線是單調凸曲線.
過直線L上任意點P的直線L1可以表示為,L1:y=ax+b,則L1上有一點P滿足L的方程,即ax+b=x-1有唯一解,于是我們有,(a-1)x=-(b+1).又根據(jù)題要求L1交于拋物線兩點,即ax+b=x^2有兩個相異解,即方程x^2-ax+b=0中a-4b>0,且兩點的x坐標分別為：a/2±.5*√(a-4b).
根據(jù)上述結果可以得到兩個交點的坐標,(x1,y1),(x2,y2),以及P的坐標(x,y),它們均是a、b的函數(shù),且a-4b>0.
可以證明不可能存在PA和PB絕對值相同的直線(證明和討論從略),除非a-4b=0,即過P的直線與拋物線相切－－其實通過作圖法易于判別,因為直線與拋物線不相交.
如果不考慮A、B兩點一定不同,那么只有相切的點才能滿足題設要求.于是問題轉化為是否過直線上任何一點均可作一直線與拋物線相切?
我們可以有兩個思路,一是采用前述的方法,令a-4b=0,證明存在至少一組(a,b)滿足上述要求.
另一個思路則是,在對拋物線上任意點求其切線方程,顯然該方程是拋物線上點(x0,x0^2)的函數(shù),然后證明該切線方程與直線L有解.
進一步證明從略,結論是答案沒錯,而且過L上所有點可以做兩條這樣的直線,它們滿足P為好點的定義.