重心、垂心、內(nèi)心和外心.正心是只有等邊三角形才具有的,此時這四心合一.
一、重心是三角形三邊中線的交點
重心的幾條性質(zhì)：
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.
2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等.
3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小.
4、在平面直角坐標系中,重心的坐標是頂點坐標的算術(shù)平均,即其坐標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標系——橫坐標：(X1+X2+X3)/3 縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標：（Z1+Z2+Z3）/3
5、重心和三角形3個頂點的連線的任意一條連線將三角形面積平分.證明：剛才證明三線交一時已證.
6、重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點.
二、垂心是三角形的三條高的交點
垂心的性質(zhì)：
設(shè)⊿ABC的三條高為AD、BE、CF,其中D、E、F為垂足,垂心為H,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,p=(a+b+c)/2．
1、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外.
2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說,三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心； 3、 垂心H關(guān)于三邊的對稱點,均在△ABC的外接圓上.
4、 △ABC中,有六組四點共圓,有三組(每組四個)相似的直角三角形,且AH·HD=BH·HE=CH·HF.
5、 H、A、B、C四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為一—垂心組).
6、 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圓是等圓.
7、 在非直角三角形中,過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q,則 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC.
8、 三角形任一頂點到垂心的距離,等于外心到對邊的距離的2倍.
9、 設(shè)O,H分別為△ABC的外心和垂心,則∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA.10、 銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍.
11、 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點在原三角形的邊上)中,以垂足三角形的周長最短.
12、 西姆松(Simson)定理（西姆松線） 從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的重要條件是該點落在三角形的外接圓上.
13、 設(shè)銳角⊿ABC內(nèi)有一點T,那么T是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA.
三、內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點,即內(nèi)切圓的圓心.
三角形內(nèi)心的性質(zhì) 設(shè)⊿ABC的內(nèi)切圓為⊙O(半徑r),角A、B、C的對邊分別為a、b、c,p=(a+b+c)/2．
1、三角形的三條角平分線交于一點,該點即為三角形的內(nèi)心．
2、三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等,都等于內(nèi)切圓半徑r．
3、r=S/p． 證明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp,即得結(jié)論.△ABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2．
5、∠BOC=90°+A/2．
6、點O是平面ABC上任意一點,點O是⊿ABC內(nèi)心的充要條件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．
7、點O是平面ABC上任意一點,點I是⊿ABC內(nèi)心的充要條件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．
8、⊿ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),那么⊿ABC內(nèi)心I的坐標是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c),ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．
9、(歐拉定理)⊿ABC中,R和r分別為外接圓為和內(nèi)切圓的半徑,O和I分別為其外心和內(nèi)心,則OI^2=R^2-2Rr．
10、（內(nèi)角平分線分三邊長度關(guān)系） 角平分線分對邊與該角的兩邊成比例.
四、外心是三角形三條邊的垂直平分線的相交點.即外接圓的圓心.用這個點做圓心可以畫三角形的外接.
外心的性質(zhì)：外心到三角形的三個頂點距離相等圓.