直線(xiàn)將平面分成區(qū)域最多的時(shí)候,應(yīng)是直線(xiàn)兩兩相交且無(wú)三線(xiàn)共點(diǎn).
設(shè)n條直線(xiàn)將平面最多分成f(n)個(gè)區(qū)域.則f(1)=2.
現(xiàn)有n條直線(xiàn)時(shí),有區(qū)域f(n)塊.
增加一條直線(xiàn)時(shí),有n+1條直線(xiàn).第n+1條直線(xiàn)與前面的n條直線(xiàn)都相交,有n個(gè)交點(diǎn),它將第n+1條直線(xiàn)分成n+1段,而每一段又將相應(yīng)的區(qū)域一分為二,即增加了n+1塊區(qū)域.
于是,f(n+1)=f(n)+n+1.
所以,f(n)=f(n-1)+n
f(n-1)=f(n-2)+n-1
f(n-2)=f(n-3)+n-2
……
f(3)=f(2)+3
f(2)=f(1)+2
相加得f(n)=n+(n-1)+(n-2)+…+2+f(1)=n(n+1)/2+1
f(5)=16,f(10)=56.
因此,5條直線(xiàn)最多可將一個(gè)平面分成16個(gè)區(qū)域,10條直線(xiàn)最多可將一個(gè)平面分成56個(gè)區(qū)域.