∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²是laplace算符,看起來奇怪,還有個名字更加奇怪了,其實就是梯度的梯度,梯度就是增長最快的方向,其實就是個向量,不要想復雜了,那就窘了.
∫∫(x×∂f/∂x+y×∂f/∂y)dxdy其實就是求和,有多少個東西要被加起來?有一個單位圓面那么多的元素啊.那我就一個圓,一個圓加,從半徑是1的一直到半徑是0的可以吧.
對于半徑為r的小圓周,(x,y)向量與圓周垂直,所以∫(x×∂f/∂x+y×∂f/∂y)本質(zhì)就是∫,沿著半徑r的圓周積分.表示兩個向量的內(nèi)積,一個是法向量n=(x,y),另一個是梯度向量F=(∂f/∂x,∂f/∂y)
由gauss散度定理,對于任何向量函數(shù)G,∫=∫∫梯度算符內(nèi)積作用在G,而梯度作用兩次的結(jié)果恰好是laplace算符,所以∫＝∫∫(∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²)dxdy=∫∫e^(-x²-y²)dxdy,然后對每個半徑r的小圓周,你把所有的結(jié)果加起來,就是∫∫∫re^(-x²-y²)dxdydr,就是∫∫∫re^(-r²)drdxdy,就是∫∫ [∫re^(-r²)dr] dxdy, 其中[∫re^(-r²)dr]=[(1/2)∫e^(-r²)(dr²)]=(1/2)[∫e^(-t)dt](從0到1)=1/2e,然后∫∫ (1/e) dxdy= 3.14/2e有點不明白，你的這句話∫