設(shè)San,Sbn分別為{an}{bn}前n項的和,有
San=a1(1-p^n)/(1-p),Sbn=b1(1-q^n)/(1-q)
由Cn=an+bn得,Sn＝San+Sbn
＝a1(1-p^n)/(1-p)+b1(1-q^n)/(1-q)
Sn/S(n-1)＝[a1(1-q)+b1(1-q)-a1(1-q)p^n-b1(1-p)q^n]/
[a1(1-q)+b1(1-q)-a1(1-q)p^(n-1)-b1(1-p)q^(n-1))]
數(shù)列{an}{bn}都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,所以p>q>0,根據(jù)p與1的關(guān)系分兩類討論
1,當1>p>q,時,n—>oo,p^n—>0,q^n—>0,p^(n-1)—>0,q^(n-1)—>0,所以：
Sn/S(n-1)—>[a1(1-q)+b1(1-q)]/ [a1(1-q)+b1(1-q)]=1
2,當p>1時,1/p0,(q/p)^(n-1)—>0,(q/p)^n—>0,所以：
Sn/S(n-1)＝[a1(1-q)(1/p)^(n-1)+b1(1-q)(1/p)^(n-1)-a1(1-q)p-b1(1-p)q(q/p)^(n-1)]/
[a1(1-q)(1/p)^(n-1)+b1(1-q)(1/p)^(n-1)-a1(1-q)p-b1(1-p)(q/p)^(n-1))]—>p
綜上：當p1時,limSn/S(n-1)＝ p,
（1）證明：當n>1時
3t*Sn-(2t+3)S(n-1)=3t
3t*S（n＋1)-(2t+3)Sn=3t
兩式相減得：3t*a(n+1)-(2t+3)*an=0
故,a(n+1)/an＝2/3＋1/t（常數(shù)）
又,3t*S2-(2t+3)S1=3t*(a2+a1)-(2t+3)*a1=3t
整理得：a2/a1=2/3＋1/t（常數(shù))
所以,{an}是等比數(shù)列
(2)依題意：f(t)=2/3＋1/t,所以bn＝2/3＋b(n-1)
bn-b(n-1)=2/3（常數(shù)）{bn}是首項為1,公差為2/3的等差數(shù)列
所以：bn＝1+2(n-1)/3=(1+2n)/3
(3)因為bn公差為2/3 ,所以,b(k+2)-b(k)=4/3,｛b2n}是以b2=5/3為首項,4/3為公差的等差數(shù)列
原式＝b1b2-b2b3+b3b4-b4b5-...+b2n-1b2n-b2nb2n+1
=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1 - b2n+1 )
=(-4/3)（b2+b4+…+b2n)
=(-4/3){5n/3+[n*(n-1)/2]*4/3}
=-(8n^2+12n)/9