象這樣類型通過恒等式求解析式的題,可以按下面步驟作.
（1）先嘗試求出一些特殊點(diǎn)的函數(shù)值.
如本題,先求出f（0)的值,令x=y=0代入恒等式,化簡得f(0)^2=f(0),即f(0)[f(0)-1]=0,所以f(0)=1或f(0)=0.
若f(0)=0,那么再令y=0,代入恒等式得f(x)*f(0)=f(x),因?yàn)閒(0)=0,所以f(x)=0,此時(shí)函數(shù)的解析式f(x)=0
那么f(0)=1時(shí)函數(shù)解析式是怎樣的呢?請看步驟2
（2）f(0)=1,我們先通過代入不同的x、y,找出和f(x)相關(guān)的如f(-x)等表達(dá)式(這一步要注意,不同題目給的條件不同,需要找出的表達(dá)式不盡相同,要靈活對待,這里以本題為例)
令y=-x代入恒等式,得到f(x)*f(-x)=f(0)-x^2=1-x^2 （a）
令y=x代入恒等式,得[f(x)]^2=f(2x)+x^2 （b）
用2x代x,y=-x代入恒等式,得到f(2x)*f(-x)=f(x)-2x^2 （c）
接下來進(jìn)行步驟三.
(3)對步驟2找出的關(guān)系式,用f(x)來統(tǒng)一表示,求出f(x)的表達(dá)式.
由（a）式得到f(-x)=（1-x^2）/f(x),由b式得到f(2x)=[f(x)]^2-x^2,全部代入c式化簡得到x^2*[f(x)]^2-2x^2f(x)+x^2(1-x^2)=0,因式分解得x^2[f(x)-(1+x)]{f(x)-(1-x)]=0,因?yàn)槭阶訉λ衳都要成立,所以[f(x)-(1+x)][f(x)-(1-x)]=0,解得f(x)=1+x或f(x)=1-x
綜上,本題函數(shù)解析式為f(x)=0或f(x)=1+x或f(x)=1-x