這個…………
1、令m=Rcosθ,n=Rsinθ,則√m^2+n^2=R,而由已知有：R^4sin^2θcos^2θ＞R^2x^2cos^2θ+R^2y^2sin^2θ,即R^2＞x^2/sin^2θ+y^2/cos^2θ≥(x+y)^2/(cos^2θ+sin^2θ)=(x+y)^2,所以√m^2+n^2＞x+y.
注：x^2/sin^2θ+y^2/cos^2θ≥(x+y)^2/(cos^2θ+sin^2θ)的由來.其實這是一個更為廣泛的不等式權方和不等式的特例,我們在這證明x^2/a+y^2/b≥(x+y)^2/（a+b),由柯西不等式得(a+b)*(x^2/a+y^2/b)≥(x+y)^2,除過來就是x^2/a+y^2/b≥(x+y)^2/（a+b),這個式子也可以用平均值不等式來證明,取a=cosθ,b=sinθ,就是x^2/sin^2θ+y^2/cos^2θ≥(x+y)^2/(cos^2θ+sin^2θ)了.
2、(√a+√b)^2=a+b+2√ab,由于a+b≥2√ab,所以(√a+√b)^2=a+b+2√ab≤2(a+b),√a+√b≤√2*√a+b,m=√2.