易知 a = 1,4,9
(i) a = 1
令三位數(shù) bcd = y^2,四位數(shù) 1bcd = x^2 (x ＞ y,且 x 和 y 均為自然數(shù))
10 ≤ y ≤ 31
32 ≤ x ≤ 44
42 ≤ x + y ≤ 75 .(1)
x^2 - y^2 = 1000
(x + y)(x - y) = 1000
若 (x + y) 和 (x - y) 是一奇一偶,則 x 不為自然數(shù) (不合)
故 (x + y) 和 (x - y) 都是偶數(shù) . (2)
符合以上 (1),(2) 二個(gè)條件的只有 50 * 20 = 1000
此時(shí) x = 35
符合題意的四位數(shù)是 35^2 = 1225
(ii) a = 4,a = 9 亦可仿造上法,但會(huì)花較多時(shí)間
以下提供另一個(gè)想法
由於完全平方數(shù)愈大,二個(gè)完全平方數(shù)之間的"差"愈大
故千位數(shù)是 4 或 9 的完全平方數(shù)只有少數(shù)幾個(gè)
64^2 = 4096
65^2 = 4225
66^2 = 4356
67^2 = 4489
68^2 = 4624
69^2 = 4761
70^2 = 4900
千位數(shù)是 4 的完全平方數(shù),符合題意的有 4225 和 4900
95^2 = 9025
96^2 = 9216
97^2 = 9409
98^2 = 9604
99^2 = 9801
千位數(shù)是 9 的完全平方數(shù)沒(méi)有符合題意的四位數(shù)