已知中心在原點(diǎn),一焦點(diǎn)為F1(5根號(hào)2,0)的橢圓被直線y=1/3(x-2)截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1/2,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

數(shù)學(xué)人氣：122 ℃時(shí)間：2020-05-29 07:14:42

優(yōu)質(zhì)解答

設(shè)兩交點(diǎn)（x1,y1)和(x2,y2)
橢圓方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1
弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1/2,則
x1+x2=2*1/2=1
弦的中點(diǎn)過(guò)直線y=1/3(x-2),則
y1+y2=1/3(x1+x2-4)=-1
把兩交點(diǎn)（x1,y1)和(x2,y2)代入橢圓方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1,相減得
(x1+x2)(x1-x2)/a^2+(y1+y2)(y1-y2)/b^2=0,
而(y1-y2)/(x1-x2)=1/3
得a^2=3b^2
而a^2=b^2+50
得a^2=75,b^2=25
所以橢圓方程：x^2/75+y^2/25=1