在解三角形問題時(shí),須掌握的三角關(guān)系式
在△ABC 中,以下的三角關(guān)系式,在解答有關(guān)的三角形問題時(shí),經(jīng)常用到,要記準(zhǔn)、記熟、靈活地加以運(yùn)用.
4．解斜三角形的問題,通常要根據(jù)題意,從實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形,然后通過解這些三角形,得出所要求的量,從而得到實(shí)際問題的解.其中建立數(shù)學(xué)模型的思想方法,也是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的歸宿,用數(shù)學(xué)手段來解決實(shí)際問題,是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本目的所在.
解題時(shí)應(yīng)根據(jù)已知與未知,合理選擇正、余弦定理使用,使解題過程簡(jiǎn)潔,要達(dá)到算法簡(jiǎn)練,算式工整、計(jì)算準(zhǔn)確.
（1）．解斜三角形應(yīng)用題的步驟
①準(zhǔn)確理解題意,分清已知和未知,準(zhǔn)確理解應(yīng)用題中有關(guān)名詞、術(shù)語,如仰角、俯角、視角、方向角、方位角及坡度、經(jīng)緯度等；
②根據(jù)題意畫出圖形；
③將要求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中,通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型,然后正確求解,演算過程要算法簡(jiǎn)練,計(jì)算準(zhǔn)確,最后作答.
（2）．實(shí)際應(yīng)用問題中有關(guān)名詞、術(shù)語
①仰角和俯角：與目標(biāo)視線在同一鉛直平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角.
②方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角.
③方位角：從指定方向線順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角.
④坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).
（3）．須熟悉的三角形中的有關(guān)公式
解斜三角形主要應(yīng)用正弦定理和余弦定理,有時(shí)也會(huì)用到周長(zhǎng)公式和面積公式,比如：
（ 為三角形的周長(zhǎng)）
（ 表示 邊上的高）
（可用正弦定理推得）
（ 為內(nèi)切圓半徑）
還須熟悉兩角和差得正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式.
五、注意點(diǎn)
1．在我們的課本上,推導(dǎo)正弦定理是從直角三角形出發(fā)得到的,說明對(duì)于直角三角形,正弦定理也是成立的,我們也須知道推導(dǎo)正弦定理的傳統(tǒng)方法,是首先推出 ,然后各式均除以 ,即得到正弦定理公式.
課本上是利用向量知識(shí)推導(dǎo)正弦定理公式.它是平面向量知識(shí)的具體應(yīng)用.
2．注意正弦定理的變形應(yīng)用.
我們不難證明 ,（其中R為 外接圓半徑）.
這樣,正弦定理可有如下一些變形：
,,；
,,；
；
,,；
,,.
以上這些關(guān)系式,可根據(jù)問題的條件和求得結(jié)論選擇加以應(yīng)用.
3．關(guān)于已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,解三角形的討論
已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,不能唯一確定三角形的形狀,解這類三角形問題將出現(xiàn)無解、一解和兩解的情況,應(yīng)分情況予以討論,圖1與圖2即是表示了在 中,已知 、 和A時(shí)解三角形的各種情況
當(dāng)A為銳角時(shí),
當(dāng)A為直角或鈍角時(shí),
4．余弦定理的每一個(gè)等式中均含有四個(gè)不同的量,它們分別是三角形的三邊和一個(gè)角,知道其中的三個(gè)量,便可求得第四個(gè)量,當(dāng)已知三邊,可以求角,此時(shí)利用余弦定理得另一種形式.