d/dx ∫(0→x) (x-t)f'(t) dt
= d/dx ∫(0→x) [xf'(t) - tf'(t)]
= d/dx {∫(0→x) xf'(t) dt - ∫(0→x) tf'(t) dt}
= d/dx x∫(0→x) f'(t) dt - d/dx ∫(0→x) tf'(t) dt
第一積分的值很好算,有：
∫(0→x) f'(t) dt = f(x) - f(0)
而假設(shè)第二個積分中,被積函數(shù)的原函數(shù)是g(t),即：
g'(t) = t f'(t)
則：
∫(0→x) tf'(t) dt = g(x) - g(0)
所以原式為：
d/dx [xf(x) - xf(0)] - d/dx [g(x)-g(0)]
對x微分,不含x的部分作常數(shù)處理,得：
xf'(x) + f(x) - f(0) - g'(x)
又由函數(shù)g的定義,得到：
= xf'(x) + f(x) - f(0) - x f'(x)
= f(x) - f(0)
其實你給的過程也就是大致按照這種方法,只不過它很早就做了微分,而且比較抽象,所以看起來暈罷了.我則是先整理了式子,然后才做的微分,你可以看到,我的做法跟答案一樣,也是約掉了xf'(x)的,所以本質(zhì)上是一樣的.而也許我這樣做你會比較好理解.
另外我引入到了函數(shù)g(t),但是不必懷疑它是否連續(xù)可導(dǎo),因為有函數(shù)tf'(t)存在.至于規(guī)范過程的話,還是按照你的過程,寫個很抽象的東西就好了,不必引入新東西,然后再去討論他連續(xù)可導(dǎo).
還不明白的話歡迎補充提問.