．中國(guó)方法：畫(huà)兩個(gè)邊長(zhǎng)為(a+b)的正方形,如圖,其中a、b為直角邊,c為斜邊.這兩個(gè)正方形全等,故面積相等.
左圖與右圖各有四個(gè)與原直角三角形全等的三角形,左右四個(gè)三角形面積之和必相等.從左右兩圖中都把四個(gè)三角形去掉,圖形剩下部分的面積必相等.左圖剩下兩個(gè)正方形,分別以a、b為邊.右圖剩下以c為邊的正方形.于是
a^2+b^2=c^2.
這就是我們幾何教科書(shū)中所介紹的方法.既直觀又簡(jiǎn)單,任何人都看得懂.
2．希臘方法：直接在直角三角形三邊上畫(huà)正方形,如圖.
容易看出,
△ABA’ ≌△AA'C .
過(guò)C向A’’B’’引垂線,交AB于C’,交A’’B’’于C’’.
△ABA’與正方形ACDA’同底等高,前者面積為后者面積的一半,△AA’’C與矩形AA’’C’’C’同底等高,前者的面積也是后者的一半.由△ABA’≌△AA’’C,知正方形ACDA’的面積等于矩形AA’’C’’C’的面積.同理可得正方形BB’EC的面積等于矩形B’’BC’C’’的面積.
于是,S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC,
即 a2+b2=c2.
至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半,則可用割補(bǔ)法得到（請(qǐng)讀者自己證明）.這里只用到簡(jiǎn)單的面積關(guān)系,不涉及三角形和矩形的面積公式.
這就是希臘古代數(shù)學(xué)家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法.
以上兩個(gè)證明方法之所以精彩,是它們所用到的定理少,都只用到面積的兩個(gè)基本觀念：
⑴ 全等形的面積相等；
⑵ 一個(gè)圖形分割成幾部分,各部分面積之和等于原圖形的面積.
這是完全可以接受的樸素觀念,任何人都能理解.
我國(guó)歷代數(shù)學(xué)家關(guān)于勾股定理的論證方法有多種,為勾股定理作的圖注也不少,其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附于《周髀算經(jīng)》之中的論文《勾股圓方圖注》中的證明.采用的是割補(bǔ)法：
如圖,將圖中的四個(gè)直角三角形涂上朱色,把中間小正方形涂上黃色,叫做中黃實(shí),以弦為邊的正方形稱為弦實(shí),然后經(jīng)過(guò)拼補(bǔ)搭配,“令出入相補(bǔ),各從其類”,他肯定了勾股弦三者的關(guān)系是符合勾股定理的.即“勾股各自乘,并之為弦實(shí),開(kāi)方除之,即弦也”.
趙爽對(duì)勾股定理的證明,顯示了我國(guó)數(shù)學(xué)家高超的證題思想,較為簡(jiǎn)明、直觀.
西方也有很多學(xué)者研究了勾股定理,給出了很多證明方法,其中有文字記載的最早的證明是畢達(dá)哥拉斯給出的.據(jù)說(shuō)當(dāng)他證明了勾股定理以后,欣喜若狂,殺牛百頭,以示慶賀.故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”.遺憾的是,畢達(dá)哥拉斯的證明方法早已失傳,我們無(wú)從知道他的證法.