除歐氏幾何,還有羅氏幾何、黎曼幾何.它們合稱非歐幾何.
可以推斷你的基礎還薄弱,理解不了這些,給你簡單講幾句.以后慢慢學你可能能理解.
歐幾里德幾何(歐式幾何)的傳統(tǒng)描述是一個公理系統(tǒng),通過有限的公理來證明所有的“真命題”.
歐幾里德幾何的五條公理是：
1、任意兩個點可以通過一條直線連接.
2、任意線段能無限延伸成一條直線.
3、給定任意線段,可以以其一個端點作為圓心,該線段作為半徑作一個圓.
4、所有直角都全等.
5、若兩條直線都與第三條直線相交,并且在同一邊的內角之和小于兩個直角,則這兩條直線在這一邊必定相交.
第五條公里稱為平行公理,可以導出下述命題：
通過一個不在直線上的點,有且僅有一條不與該直線相交的直線.
長期以來,數學家們發(fā)現第五公設和前四個公設比較起來,顯得文字敘述冗長,而且也不那么顯而易見.
有些數學家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書中直到第二十九個命題中才用到,而且以后再也沒有使用.也就是說,在《幾何原本》中可以不依靠第五公設而推出前二十八個命題.
因此,一些數學家提出,第五公設能不能不作為公設,而作為定理?能不能依靠前四個公設來證明第五公設?這就是幾何發(fā)展史上最著名的,爭論了長達兩千多年的關于“平行線理論”的討論.
由于證明第五公設的問題始終得不到解決,人們逐漸懷疑證明的路子走的對不對?第五公設到底能不能證明?
到了十九世紀二十年代,俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基在證明第五公設的過程中,他走了另一條路子.他提出了一個和歐式平行公理相矛盾的命題,用它來代替第五公設,然后與歐式幾何的前四個公設結合成一個公理系統(tǒng),展開一系列的推理.他認為如果這個系統(tǒng)為基礎的推理中出現矛盾,就等于證明了第五公設.我們知道,這其實就是數學中的反證法.
但是,在他極為細致深入的推理過程中,得出了一個又一個在直覺上匪夷所思,但在邏輯上毫無矛盾的命題.最后,羅巴切夫斯基得出兩個重要的結論：
第一,第五公設不能被證明.
第二,在新的公理體系中展開的一連串推理,得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理,并形成了新的理論.這個理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴密的幾何學.
這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何,簡稱"羅氏幾何".這是第一個被提出的非歐幾何學.
從羅巴切夫斯基創(chuàng)立的非歐幾何學中,可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結論：邏輯上互不矛盾的一組假設都有可能提供一種幾何學.
幾乎在羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何學的同時,匈牙利數學家鮑耶·雅諾什也發(fā)現了第五公設不可證明和非歐幾何學的存在.鮑耶在研究非歐幾何學的過程中也遭到了家庭、社會的冷漠對待.他的父親——數學家鮑耶·法爾卡什認為研究第五公設是耗費精力勞而無功的蠢事,勸他放棄這種研究.但鮑耶·雅諾什堅持為發(fā)展新的幾何學而辛勤工作.終于在1832年,在他的父親的一本著作里,以附錄的形式發(fā)表了研究結果.
那個時代被譽為“數學王子”的高斯也發(fā)現第五公設不能證明,并且研究了非歐幾何.但是高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害,不敢公開發(fā)表自己的研究成果,只是在書信中向自己的朋友表示了自己的看法,也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論.
羅式幾何
羅式幾何學的公理系統(tǒng)和歐式幾何學不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“從直線外一點,至少可以做兩條直線和這條直線平行”來代替,其他公理基本相同.由于平行公理不同,經過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內容不同的新的幾何命題.
我們知道,羅式幾何除了一個平行公理之外采用了歐式幾何的一切公理.因此,凡是不涉及到平行公理的幾何命題,在歐式幾何中如果是正確的,在羅式幾何中也同樣是正確的.在歐式幾何中,凡涉及到平行公理的命題,再羅式幾何中都不成立,他們都相應地含有新的意義.下面舉幾個例子加以說明：
歐式幾何
同一直線的垂線和斜線相交.
垂直于同一直線的兩條直線或向平行.
存在相似的多邊形.
過不在同一直線上的三點可以做且僅能做一個圓.

羅式幾何
同一直線的垂線和斜線不一定相交.
垂直于同一直線的兩條直線,當兩端延長的時候,離散到無窮.
不存在相似的多邊形.
過不在同一直線上的三點,不一定能做一個圓.

從上面所列舉得羅式幾何的一些命題可以看到,這些命題和我們所習慣的直觀形象有矛盾.所以羅式幾何中的一些幾何事實沒有象歐式幾何那樣容易被接受.但是,數學家們經過研究,提出可以用我們習慣的歐式幾何中的事實作一個直觀“模型”來解釋羅式幾何是正確的.
1868年,意大利數學家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》,證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現.這就是說,非歐幾何命題可以“翻譯”成相應的歐幾里得幾何命題,如果歐幾里得幾何沒有矛盾,非歐幾何也就自然沒有矛盾.
人們既然承認歐幾里是沒有矛盾的,所以也就自然承認非歐幾何沒有矛盾了.直到這時,長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究,羅巴切夫斯基的獨創(chuàng)性研究也就由此得到學術界的高度評價和一致贊美,他本人則被人們贊譽為“幾何學中的哥白尼”.
黎曼幾何
歐氏幾何與羅氏幾何中關于結合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的,只是平行公理不一樣.歐式幾何講“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”.羅氏幾何講“過直線外一點至少存在兩條直線和已知直線平行”.那么是否存在這樣的幾何“過直線外一點,不能做直線和已知直線平行”?黎曼幾何就回答了這個問題.
黎曼幾何是德國數學家黎曼創(chuàng)立的.他在1851年所作的一篇論文《論幾何學作為基礎的假設》中明確的提出另一種幾何學的存在,開創(chuàng)了幾何學的一片新的廣闊領域.
黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點).在黎曼幾何學中不承認平行線的存在,它的另一條公設講：直線可以無限演唱,但總的長度是有限的.黎曼幾何的模型是一個經過適當“改進”的球面.
近代黎曼幾何在廣義相對論里得到了重要的應用.在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何.在廣義相對論里,愛因斯坦放棄了關于時空均勻性的觀念,他認為時空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的,但是整個時空卻是不均勻的.在物理學中的這種解釋,恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的.
此外,黎曼幾何在數學中也是一個重要的工具.它不僅是微分幾何的基礎,也應用在微分方程、變分法和復變函數論等方面.
三種幾何的關系
歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何.這三中幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系,各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性.因此這三種幾何都是正確的.
在我們這個不大不小、不遠不近的空間里,也就是在我們的日常生活中,歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界,羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題中,黎曼幾何更準確一些.