設(shè)y=f(x),因為f(-x)=-f(x),所以對勾函數(shù)為奇函數(shù),圖像分布在一、三象限,故只需討論一象限即可,即x＞0,x＜0時同理.
求對勾函數(shù)極值的方法有兩種：
(1)均值定理
都知道完全平方大于等于零,即(x+y)^2≥0
則x^2+y^2≥2xy
(x+y)^2≥4xy
x+y≥2√(xy)[x,y均為正數(shù)]
所以ax+b/x≥2√(ab)
(2)導(dǎo)函數(shù)
因為極值點f'(x)=0
對勾函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為y'=a-bx^-2
當(dāng)y'=0時,x=√(b/a),y=2√(ab)
如果單純說為何要在ax=b/x時取極值,可以從以下途徑去解釋.
可設(shè)y1=ax,y2=b/x,則y=y1+y2,其中y1為正比列函數(shù),y2為反比例函數(shù)
y2的導(dǎo)函數(shù)y'2=-bx^-2
y1與y2的焦點為ax=b/x處(設(shè)為A點)
y2在A點的斜率為-a(導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值),說明y2在A點的切線恰好與y1關(guān)于一條平行于x軸的直線對稱,即y2在A點的切線函數(shù)與y1之和恰好為一個常數(shù)k(y=k即為上面那一條關(guān)于x軸平行的直線),而y2在A點兩側(cè)的函數(shù)值均大于切線的函數(shù)值(從雙曲線圖像可以看出),y1與y2在任意x(x＞0)處的函數(shù)值之和均大于常數(shù)k,即函數(shù)y=y1+y2=ax+b/x在y1與y2的交點處取最小值.
你可以在圖上畫畫看!