設(shè)X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,概率密度為f(x)=1/(√2π)*e^(-x^2/2),x取任意實(shí)數(shù)
則∫f(x)dx,(積分下上限是負(fù)無(wú)窮和正無(wú)窮）,就是概率密度函數(shù)圖像與x軸所圍成的面積
根據(jù)概率密度的性質(zhì)可得∫f(x)dx=1,(積分下上限是負(fù)無(wú)窮和正無(wú)窮）
∫f(x)dx=∫1/(√2π)*e^(-x^2/2)dx (積分下上限是負(fù)無(wú)窮和正無(wú)窮）
直接積分不好積
假設(shè)Y也服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,且X,Y相互獨(dú)立,則有
∫f(x)dx*∫f(y)dy=∫∫f(x)f(y)dxdy,積分下上限是負(fù)無(wú)窮和正無(wú)窮
用x=√2u,y=√2v,代入上式可得
∫∫f(x)f(y)dxdy=∫∫1/π*e^(-u^2-v^2)dudv=1/π*∫dθ∫re^(-r^2)dr,前面的積分下上限是0和2π,后面的是0和正無(wú)窮
∫∫f(x)f(y)dxdy=∫∫1/π*e^(-u^2-v^2)dudv=1/π*∫dθ∫re^(-r^2)dr=1/π*π=1
因?yàn)椤襢(x)dx=∫f(y)dy
所以可得∫f(x)dx=∫f(y)dy=1
所以
正態(tài)分布的概率密度函數(shù)與x軸所圍成的面積為1
解畢