質(zhì)數(shù)
什么是質(zhì)數(shù)?就是在所有比1大的整數(shù)中,除了1和它本身以外,不再有別的約數(shù),這種整數(shù)叫做質(zhì)數(shù),質(zhì)數(shù)又叫做素?cái)?shù).這終規(guī)只是文字上的解釋而已.能不能有一個(gè)代數(shù)式,規(guī)定用字母表示的那個(gè)數(shù)為規(guī)定的任何值時(shí),所代入的代數(shù)式的值都是質(zhì)數(shù)呢?
質(zhì)數(shù)的分布是沒有規(guī)律的,往往讓人莫名其妙.如：101、401、601、701都是質(zhì)數(shù),但上下面的301（7*43）和901（17*53）卻是合數(shù).
有人做過這樣的驗(yàn)算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有這樣一個(gè)公式：設(shè)一正數(shù)為n,則n^2+n+41的值一定是一個(gè)質(zhì)數(shù).這個(gè)式子一直到n=39時(shí),都是成立的.但n=40時(shí),其式子就不成立了,因?yàn)?0^2+40+41=1681=41*41.
被稱為“17世紀(jì)最偉大的法國數(shù)學(xué)家”費(fèi)爾馬,也研究過質(zhì)數(shù)的性質(zhì).他發(fā)現(xiàn),設(shè)Fn=2^(2^n),則當(dāng)n分別等于0、1、2、3、4時(shí),Fn分別給出3、5、17、257、65537,都是質(zhì)數(shù),由于F5太大（F5=14292967297）,他沒有再往下檢測就直接猜測：對于一切自然數(shù),Fn都是質(zhì)數(shù).但是,就是在F5上出了問題!費(fèi)爾馬死后67年,25歲的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明：F5=14292967297=641*6700417,并非質(zhì)數(shù),而是合數(shù).
更加有趣的是,以后的Fn值,數(shù)學(xué)家再也沒有找到哪個(gè)Fn值是質(zhì)數(shù),全部都是合數(shù).目前由于平方開得較大,因而能夠證明的也很少.現(xiàn)在數(shù)學(xué)家們?nèi)〉肍n的最大值為：n=1495.這可是個(gè)超級天文數(shù)字,其位數(shù)多達(dá)10^10584位,當(dāng)然它盡管非常之大,但也不是個(gè)質(zhì)數(shù).質(zhì)數(shù)和費(fèi)爾馬開了個(gè)大玩笑!
17世紀(jì)還有位法國數(shù)學(xué)家叫梅森,他曾經(jīng)做過一個(gè)猜想：2^p-1代數(shù)式,當(dāng)p是質(zhì)數(shù)時(shí),2^p-1是質(zhì)數(shù).他驗(yàn)算出了：當(dāng)p=2、3、5、7、17、19時(shí),所得代數(shù)式的值都是質(zhì)數(shù),后來,歐拉證明p=31時(shí),2^p-1是質(zhì)數(shù). p＝2,3,5,7時(shí),Mp都是素?cái)?shù),但M11＝2047＝23×89不是素?cái)?shù).
還剩下p=67、127、257三個(gè)梅森數(shù),由于太大,長期沒有人去驗(yàn)證.梅森去世250年后,美國數(shù)學(xué)家科勒證明,2^67-1=193707721*761838257287,是一個(gè)合數(shù).這是第九個(gè)梅森數(shù).20世紀(jì),人們先后證明：第10個(gè)梅森數(shù)是質(zhì)數(shù),第11個(gè)梅森數(shù)是合數(shù).質(zhì)數(shù)排列得這樣雜亂無章,也給人們尋找質(zhì)數(shù)規(guī)律造成了困難.
還有一種質(zhì)數(shù)叫費(fèi)馬數(shù).形式是:Fn=2^(2^n)+1 是質(zhì)數(shù)的猜想.
如F1=2^(2^1)+1=5
F2=2^(2^2)+1=17
F3=2^(2^3)+1=257
F4=2^(2^4)+1=65537
F5=2^(2^5)+1=4294967297
前4個(gè)是質(zhì)數(shù),因?yàn)榈?個(gè)數(shù)實(shí)在太大了,費(fèi)馬認(rèn)為是實(shí)數(shù),并提出(費(fèi)馬沒給出證明)
后來歐拉算出F5=641*6700417.
目前只有n=0,1,2,3,4,Fn才是質(zhì)數(shù).
現(xiàn)在,數(shù)學(xué)家找到的最大的梅森數(shù)是一個(gè)有9808357位的數(shù)：2^32582657-1.數(shù)學(xué)雖然可以找到很大的質(zhì)數(shù),但質(zhì)數(shù)的規(guī)律還是無法循通.

素?cái)?shù)
素?cái)?shù)是這樣的整數(shù),它除了能表示為它自己和1的乘積以外,不能表示為任何其它兩個(gè)整數(shù)的乘積.例如,15＝3＊5,所以15不是素?cái)?shù)；又如,12＝6＊2＝4＊3,所以12也不是素?cái)?shù).另一方面,13除了等于13＊1以外,不能表示為其它任何兩個(gè)整數(shù)的乘積,所以13是一個(gè)素?cái)?shù).
有的數(shù),如果單憑印象去捉摸,是無法確定它到底是不是素?cái)?shù)的.有些數(shù)則可以馬上說出它不是素?cái)?shù).一個(gè)數(shù),不管它有多大,只要它的個(gè)位數(shù)是2、4、5、6、8或0,就不可能是素?cái)?shù).此外,一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和要是可以被3整除的話,它也不可能是素?cái)?shù).但如果它的個(gè)位數(shù)是1、3、7或9,而且它的各位數(shù)字之和不能被3整除,那么,它就可能是素?cái)?shù)（但也可能不是素?cái)?shù)）.沒有任何現(xiàn)成的公式可以告訴你一個(gè)數(shù)到底是不是素?cái)?shù).你只能試試看能不能將這
個(gè)數(shù)表示為兩個(gè)比它小的數(shù)的乘積.
找素?cái)?shù)的一種方法是從2開始用“是則留下,不是則去掉”的方法把所有的數(shù)列出來（一直列到你不想再往下列為止,比方說,一直列到10,000）.第一個(gè)數(shù)是2,它是一個(gè)素?cái)?shù),所以應(yīng)當(dāng)把它留下來,然后繼續(xù)往下數(shù),每隔一個(gè)數(shù)刪去一個(gè)數(shù),這樣就能把所有能被2整除、因而不是素?cái)?shù)的數(shù)都去掉.在留下的最小的數(shù)當(dāng)中,排在2后面的是3,這是第二個(gè)素?cái)?shù),因此應(yīng)該把它留下,然后從它開始往后數(shù),每隔兩個(gè)數(shù)刪去一個(gè),這樣就能把所有能被3整除的數(shù)全都去掉.下一個(gè)未去掉的數(shù)是5,然后往后每隔4個(gè)數(shù)刪去一個(gè),以除去所有能被5整除的數(shù).再下一個(gè)數(shù)是7,往后每隔6個(gè)數(shù)刪去一個(gè)；再下一個(gè)數(shù)是11,往后每隔10個(gè)數(shù)刪一個(gè)；再下一個(gè)是13,往后每隔12個(gè)數(shù)刪一個(gè).……就這樣依法做下去.
你也許會(huì)認(rèn)為,照這樣刪下去,隨著刪去的數(shù)越來越多,最后將會(huì)出現(xiàn)這樣的情況；某一個(gè)數(shù)后面的數(shù)會(huì)統(tǒng)統(tǒng)被刪去崮此在某一個(gè)最大的素?cái)?shù)后面,再也不會(huì)有素?cái)?shù)了.但是實(shí)際上,這樣的情況是不會(huì)出現(xiàn)的.不管你取的數(shù)是多大,百萬也好,萬萬也好,總還會(huì)有沒有被刪去的、比它大的素?cái)?shù).
事實(shí)上,早在公元前300年,希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就已證明過,不論你取的數(shù)是多大,肯定還會(huì)有比它大的素?cái)?shù),假設(shè)你取出前6個(gè)素?cái)?shù),并把它們乘在一起：2＊3＊5＊7＊11＊13＝30030,然后再加上1,得30031.這個(gè)數(shù)不能被2、3、5、7、11、13整除,因?yàn)槌慕Y(jié)果,每次都會(huì)余1.如果30031除了自己以外不能被任何數(shù)整除,它就是素?cái)?shù).如果能被其它數(shù)整除,那么30031所分解成的幾個(gè)數(shù),一定都大于13.事實(shí)上,30031＝59＊509.
對于前一百個(gè)、前一億個(gè)或前任意多個(gè)素?cái)?shù),都可以這樣做.如果算出了它們的乘積后再加上1,那么,所得的數(shù)或者是一個(gè)素?cái)?shù),或者是比所列出的素?cái)?shù)還要大的幾個(gè)素?cái)?shù)的乘積.不論所取的數(shù)有多大,總有比它大的素?cái)?shù),因此,素
數(shù)的數(shù)目是無限的.
隨著數(shù)的增大,我們會(huì)一次又一次地遇到兩個(gè)都是素?cái)?shù)的相鄰奇數(shù)對,如5,7；11,13；17,19；29,31；41,43；等等.就數(shù)學(xué)家所能及的數(shù)來說,它們總是能找到這樣的素?cái)?shù)對.這樣的素?cái)?shù)對到底是不是有無限個(gè)呢?誰也不知道.數(shù)學(xué)家認(rèn)為是無限的,但他們從來沒能證明它.這就是數(shù)學(xué)家為什么對素?cái)?shù)感興趣的原因.素?cái)?shù)為數(shù)學(xué)家提供了一些看起來很容易、但事實(shí)卻非常難以解決的問題,他們目前還沒能對付這個(gè)挑戰(zhàn)哩