xlnx+ylny-(x+y)ln((x+y)/2)用單調(diào)性證明此式子為什么大于0

數(shù)學(xué)人氣：729 ℃時(shí)間：2019-10-11 16:38:22

優(yōu)質(zhì)解答

說(shuō)明：所與式子僅當(dāng)x>0,且y>0時(shí)有意義,因此本問(wèn)題也只能在此范圍內(nèi)討論；其次本問(wèn)題宜使用函數(shù)的凹凸性證明,而不是單調(diào)性；最后,x=y時(shí)該式子等于0,故應(yīng)有x≠y的條件.
證明：考慮函數(shù)f(x)=xlnx
因?yàn)閒'(x)=lnx+1,f"(x)=1/x,當(dāng)x>0時(shí),恒成立f"(x)>0,故f(x)是凹函數(shù),由凹函數(shù)定義：當(dāng)x>0,且y>0（x≠y)時(shí),(1/2)[f(x)+f(y)]>(1/2)f[(x+y)/2),所求證的命題成立.