一元三次方程的一般形式是
x3+sx2+tx+u=0
如果作一個(gè)橫坐標(biāo)平移y=x+s/3,那么我們就可以把方程的二次項(xiàng)消
去.所以我們只要考慮形如
x3=px+q
的三次方程.
假設(shè)方程的解x可以寫成x=a-b的形式,這里a和b是待定的參數(shù).
代入方程,我們就有
a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q
整理得到
a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
由二次方程理論可知,一定可以適當(dāng)選取a和b,使得在x=a-b的同時(shí),
3ab+p=0.這樣上式就成為
a3-b3=q
兩邊各乘以27a3,就得到
27a6-27a3b3=27qa3
由p=-3ab可知
27a6 + p = 27qa3
這是一個(gè)關(guān)于a3的二次方程,所以可以解得a.進(jìn)而可解出b和根x.
費(fèi)拉里發(fā)現(xiàn)的一元四次方程的解法
和三次方程中的做法一樣,可以用一個(gè)坐標(biāo)平移來消去四次方程
一般形式中的三次項(xiàng).所以只要考慮下面形式的一元四次方程：
x4=px2+qx+r
關(guān)鍵在于要利用參數(shù)把等式的兩邊配成完全平方形式.考慮一個(gè)參數(shù)
a,我們有
(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2
等式右邊是完全平方式當(dāng)且僅當(dāng)它的判別式為0,即
q2 = 4(p+2a)(r+a2)
這是一個(gè)關(guān)于a的三次方程,利用上面一元三次方程的解法,我們可以
解出參數(shù)a.這樣原方程兩邊都是完全平方式,開方后就是一個(gè)關(guān)于x
的一元二次方程,于是就可以解出原方程的根x.
韋達(dá)定理(Vieta's Theorem）的內(nèi)容
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
設(shè)兩個(gè)根為X1和X2
則X1+X2= -b/a 韋達(dá)定理
X1*X2=c/a
不能用于線段
用韋達(dá)定理判斷方程的根
若b^2-4ac>0 則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
若b^2-4ac=0 則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
若b^2-4ac