（1）由題意：BP＝tcm,AQ＝2tcm,則CQ＝(4－2t)cm,
∵∠C＝90°,AC＝4cm,BC＝3cm,∴AB＝5cm
∴AP＝（5－t）cm,
∵PQ‖BC,∴△APQ∽△ABC,
∴AP∶AB＝AQ∶AC,即（5－t）∶5＝2t∶4,解得：t＝
∴當(dāng)t為 秒時(shí),PQ‖BC
………………2分
（2）過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥AB于點(diǎn)D,則易證△AQD∽△ABC
∴AQ∶QD＝AB∶BC
∴2t∶DQ＝5∶3,∴DQ＝
∴△APQ的面積：×AP×QD＝ （5－t）×
∴y與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝
………………5分
（3）由題意：
當(dāng)面積被平分時(shí)有：＝ × ×3×4,解得：t＝
當(dāng)周長(zhǎng)被平分時(shí)：（5－t）＋2t＝t＋（4－2t）＋3,解得：t＝1
∴不存在這樣t的值
………………8分
（4）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于E
易證：△PAE∽△ABC,當(dāng)PE＝ QC時(shí),△PQC為等腰三角形,此時(shí)△QCP′為菱形
∵△PAE∽△ABC,∴PE∶PB＝AC∶AB,∴PE∶t＝4∶5,解得：PE＝
∵QC＝4－2t,∴2× ＝4－2t,解得：t＝
∴當(dāng)t＝ 時(shí),四邊形PQP′C為菱形
此時(shí),PE＝ ,BE＝ ,∴CE＝
………………10分
在Rt△CPE中,根據(jù)勾股定理可知：PC＝ ＝ ＝
∴此菱形的邊長(zhǎng)為 cm