設(shè)弦的兩端點(diǎn)為M(x1,y1),N(x2,y2),其中點(diǎn)P(xo,yo),則
x1²+y1²=10,x2²+y2²=10,兩式相減得
x1²-x2²+y1²-y2²=0,變形得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0
由中點(diǎn)公式有x1+x2=2xo,y1+y2=2yo,代入上式得2xo(x1-x2)+2yo(y1-y2)=0,
①若x1≠x2,也就是弦不與x軸垂直,則上式整理得 (y1-y2)/(x1-x2)= -xo/yo
上式左邊實(shí)際上是弦的斜率,因?yàn)橄疫^(guò)點(diǎn)A(2,1),所以斜率又可寫(xiě)為(yo-1)/(xo-2),所以
-xo/yo=(yo-1)/(xo-2),化簡(jiǎn)整理得(xo-1)²+(yo-1/2)²=5/4
②若x1=x2,也就是弦與x軸垂直,因?yàn)橄疫^(guò)點(diǎn)A(2,1),所以x1=x2=2,代入圓O的方程可求得y1、y2=±√6,所以弦的兩端點(diǎn)為M(2,√6),N(2,-√6),進(jìn)而求得中點(diǎn)P (2,0),代入①得出的(xo-1)²+(yo-1/2)²=5/4,發(fā)現(xiàn)也成立,也就是說(shuō),當(dāng)x1=x2時(shí),(xo-1)²+(yo-1/2)²=5/4也成立.
綜上所述,弦的中點(diǎn)P的軌跡方程為(x-1)²+(y-1/2)²=5/4.