將十二個(gè)球編號(hào)為1-12.
第一次,先將1-4號(hào)放在左邊,5-8號(hào)放在右邊.
1.如果右重則壞球在1-8號(hào).
第二次將2-4號(hào)拿掉,將6-8號(hào)從右邊移到左邊,把9-11號(hào)放
在右邊.就是說,把1,6,7,8放在左邊,5,9,10,11放在右邊.
1.如果右重則壞球在沒有被觸動(dòng)的1,5號(hào).如果是1號(hào),
則它比標(biāo)準(zhǔn)球輕；如果是5號(hào),則它比標(biāo)準(zhǔn)球重.
第三次將1號(hào)放在左邊,2號(hào)放在右邊.
1.如果右重則1號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕；
2.如果平衡則5號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重；
3.這次不可能左重.
2.如果平衡則壞球在被拿掉的2-4號(hào),且比標(biāo)準(zhǔn)球輕.
第三次將2號(hào)放在左邊,3號(hào)放在右邊.
1.如果右重則2號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕；
2.如果平衡則4號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕；
3.如果左重則3號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕.
3.如果左重則壞球在拿到左邊的6-8號(hào),且比標(biāo)準(zhǔn)球重.
第三次將6號(hào)放在左邊,7號(hào)放在右邊.
1.如果右重則7號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重；
2.如果平衡則8號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重；
3.如果左重則6號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重.
2.如果天平平衡,則壞球在9-12號(hào).
第二次將1-3號(hào)放在左邊,9-11號(hào)放在右邊.
1.如果右重則壞球在9-11號(hào)且壞球較重.
第三次將9號(hào)放在左邊,10號(hào)放在右邊.
1.如果右重則10號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重；
2.如果平衡則11號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重；
3.如果左重則9號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重.
2.如果平衡則壞球?yàn)?2號(hào).
第三次將1號(hào)放在左邊,12號(hào)放在右邊.
1.如果右重則12號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重；
2.這次不可能平衡；
3.如果左重則12號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕.
3.如果左重則壞球在9-11號(hào)且壞球較輕.
第三次將9號(hào)放在左邊,10號(hào)放在右邊.
1.如果右重則9號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕；
2.如果平衡則11號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕；
3.如果左重則10號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕.
3.如果左重則壞球在1-8號(hào).
第二次將2-4號(hào)拿掉,將6-8號(hào)從右邊移到左邊,把9-11號(hào)放
在右邊.就是說,把1,6,7,8放在左邊,5,9,10,11放在右邊.
1.如果右重則壞球在拿到左邊的6-8號(hào),且比標(biāo)準(zhǔn)球輕.
第三次將6號(hào)放在左邊,7號(hào)放在右邊.
1.如果右重則6號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕；
2.如果平衡則8號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕；
3.如果左重則7號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕.
2.如果平衡則壞球在被拿掉的2-4號(hào),且比標(biāo)準(zhǔn)球重.
第三次將2號(hào)放在左邊,3號(hào)放在右邊.
1.如果右重則3號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重；
2.如果平衡則4號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重；
3.如果左重則2號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重.
3.如果左重則壞球在沒有被觸動(dòng)的1,5號(hào).如果是1號(hào),
則它比標(biāo)準(zhǔn)球重；如果是5號(hào),則它比標(biāo)準(zhǔn)球輕.
第三次將1號(hào)放在左邊,2號(hào)放在右邊.
1.這次不可能右重.
2.如果平衡則5號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球輕；
3.如果左重則1號(hào)是壞球且比標(biāo)準(zhǔn)球重；
夠麻煩的吧.其實(shí)里面有許多情況是對(duì)稱的,比如第一次稱時(shí)的右重和右輕,只需考慮一種就可以了,另一種完全可以比照執(zhí)行.我把整個(gè)過程寫下來,只是想嚇唬嚇唬大家.
稍微試一下,就可以知道只稱兩次是不可能保證找到壞球的.如果給的是十三個(gè)球,以上的解法也基本有效,只是要有個(gè)小小的改動(dòng),就是在這種情況下,在第一第二次都平衡的時(shí)候,第三次還是有可能平衡（就是上面的第2.2.2步）,那么我們可以肯定壞球是13號(hào)球,可是我們沒法知道它到底是比標(biāo)準(zhǔn)球輕,還是比標(biāo)準(zhǔn)球重.如果給的是十四個(gè)球,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)無論如何也不可能只稱三次,就保證找出壞球.
一個(gè)自然而然的問題就是：對(duì)于給定的自然數(shù)N,我們怎么來解有N個(gè)球的稱球問題?
在下面的討論中,給定任一自然數(shù)N,我們要解決以下問題：
⑴找出N球稱球問題所需的最小次數(shù),并證明以上所給的最小次數(shù)的確是最小的；
⑵給出最小次數(shù)稱球的具體方法；
⑶如果只要求找出壞球而不要求知道壞球的輕重,對(duì)N球稱球問題解決以上兩個(gè)問題；
還有一個(gè)我們并不是那么感興趣,但是作為副產(chǎn)品的問題是：
⑷如果除了所給的N個(gè)球外,另外還給一標(biāo)準(zhǔn)球,解決以上三個(gè)問題.