∵函數y=f（x）（x∈R）滿足f（x+3）=f（x+1），
∴函數y=f（x）（x∈R）是以2為周期的周期函數，
又∵當x∈[-1，1]時，f（x）=x²，
我們可以在同一坐標系中畫出函數y=f（x）與函數y=log₇x的圖象，如下圖所示：

由圖可知y=f（x）與y=log₇x的圖象的交點個數為6個
故選D