根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義：
(cosx)'=lim {t-->0} [cos(x+t)-cosx]/t
=lim {t-->0} [cosx*cost-sinx*sint-cosx]/t
=lim {t-->0} [cosx*(cost-1)-sinx*sint]/t
=lim {t-->0} [cosx*(cost-1)]/t + lim {t-->0} -(sinx*sint)/t
由于cost-1等價于-(1/2)t^2
sint等價于t,
用等價無窮小替換：
原式=lim {t-->0} [cosx*(-1/2)t^2]/t + lim {t-->0} -(sinx*t)/t
=-sinx

直接替換t^2結(jié)果雖然是一樣的,但是邏輯上有問題.
cost=1 - (t^2)/2! + (t^4)/4! - (t^6)/6! + ...
所以cost-1等價于-(t^2)/2
如果你直接換成t^2,由于分子式t^2,分母是t,所以分式極限也是0.但是這是巧合,如果分母也是t^2量級的話,結(jié)果就不一樣了.