國古代數(shù)學(xué),和天文學(xué)以及其他許多科學(xué)技術(shù)一樣,也取得了極其輝煌的成就.可以毫不夸張地說,直到明代中葉以前,在數(shù)學(xué)的許多分支領(lǐng)域里,中國一直處于遙遙領(lǐng)先的地位.中國古代的許多數(shù)學(xué)家曾經(jīng)寫下了不少著名的數(shù)學(xué)著作.許多具有世界意義的成就正是因為有了這些古算書而得以流傳下來.這些中國古代數(shù)學(xué)名著是了解古代數(shù)學(xué)成就的豐富寶庫.
例如現(xiàn)在所知道的最早的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》,它們都是公元紀元前后的作品,到現(xiàn)在已有兩千年左右的歷史了.能夠使兩千年前的數(shù)學(xué)書籍流傳到現(xiàn)在,這本身就是一項了不起的成就.
開始,人們是用抄寫的方法進行學(xué)習(xí)并且把數(shù)學(xué)知識傳給下一代的.直到北宋,隨著印刷術(shù)的發(fā)展,開始出現(xiàn)印刷本的數(shù)學(xué)書籍,這恐怕是世界上印刷本數(shù)學(xué)著作的最早出現(xiàn).現(xiàn)在收藏于北京圖書館、上海圖書館、北京大學(xué)圖書館的傳世南宋本《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》等五種數(shù)學(xué)書籍,更是值得珍重的寶貴文物.
從漢唐時期到宋元時期,歷代都有著名算書出現(xiàn)：或是用中國傳統(tǒng)的方法給已有的算書作注解,在注解過程中提出自己新的算法；或是另寫新書,創(chuàng)新說,立新意.在這些流傳下來的古算書中凝聚著歷代數(shù)學(xué)家的勞動成果,它們是歷代數(shù)學(xué)家共同留下來的寶貴遺產(chǎn).
《算經(jīng)十書》
《算經(jīng)十書》是指漢、唐一千多年間的十部著名數(shù)學(xué)著作,它們曾經(jīng)是隋唐時候國子監(jiān)算學(xué)科（國家所設(shè)學(xué)校的數(shù)學(xué)科）的教科書.十部算書的名字是：《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《緝古算經(jīng)》、《綴術(shù)》.
這十部算書,以《周髀算經(jīng)》為最早,不知道它的作者是誰,據(jù)考證,它成書的年代當不晚于西漢后期（公元前一世紀）.《周髀算經(jīng)》不僅是數(shù)學(xué)著作,更確切地說,它是講述當時的一派天文學(xué)學(xué)說——“蓋天說”的天文著作.就其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容來說,書中記載了用勾股定理來進行的天文計算,還有比較復(fù)雜的分數(shù)計算.當然不能說這兩項算法都是到公元前一世紀才為人們所掌握,它僅僅說明在現(xiàn)在已經(jīng)知道的資料中,《周髀算經(jīng)》是比較早的記載.
對古代數(shù)學(xué)的各個方面全面完整地進行敘述的是《九章算術(shù)》,它是十部算書中最重要的一部.它對以后中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展所產(chǎn)生的影響,正像古希臘歐幾里得（約前330—前275）《幾何原本》對西方數(shù)學(xué)所產(chǎn)生的影響一樣,是非常深刻的.在中國,它在一千幾百年間被直接用作數(shù)學(xué)教育的教科書.它還影響到國外,朝鮮和日本也都曾拿它當作教科書.
《九章算術(shù)》,也不知道確實的作者是誰,只知道西漢早期的著名數(shù)學(xué)家張蒼（前201—前152）、耿壽昌等人都曾經(jīng)對它進行過增訂刪補.《漢書?藝文志》中沒有《九章算術(shù)》的書名,但是有許商、杜忠二人所著的《算術(shù)》,因此有人推斷其中或者也含有許、杜二人的工作.1984年,湖北江陵張家山西漢早期古墓出土《算數(shù)書》書簡,67 推算成書當比《九章算術(shù)》早一個半世紀以上,內(nèi)容和《九章算術(shù)》極相類似,有些算題和《九章算術(shù)》算題文句也基本相同,可見兩書有某些繼承關(guān)系.可以說《九章算術(shù)》是在長時期里經(jīng)過多次修改逐漸形成的,雖然其中的某些算法可能早在西漢之前就已經(jīng)有了.正如書名所反映的,全書共分九章,一共搜集了二百四十六個數(shù)學(xué)問題,連同每個問題的解法,分為九大類,每類算是一章.
從數(shù)學(xué)成就上看,首先應(yīng)該提到的是：書中記載了當時世界上最先進的分數(shù)四則運算和比例算法.書中還記載有解決各種面積和體積問題的算法以及利用勾股定理進行測量的各種問題.《九章算術(shù)》中最重要的成就是在代數(shù)方面,書中記載了開平方和開立方的方法,并且在這基礎(chǔ)上有了求解一般一元二次方程（首項系數(shù)不是負）的數(shù)值解法.還有整整一章是講述聯(lián)立一次方程解法的,這種解法實質(zhì)上和現(xiàn)在中學(xué)里所講的方法是一致的.這要比歐洲同類算法早出一千五百多年.在同一章中,還在世界數(shù)學(xué)史上第一次記載了負數(shù)概念和正負數(shù)的加減法運算法則.
《九章算術(shù)》不僅在中國數(shù)學(xué)史上占有重要地位,它的影響還遠及國外.在歐洲中世紀,《九章算術(shù)》中的某些算法,例如分數(shù)和比例,就有可能先傳入印度再經(jīng)阿拉伯傳入歐洲.再如“盈不足” （也可以算是一種一次內(nèi)插法）,在阿拉伯和歐洲早期的數(shù)學(xué)著作中,就被稱作“中國算法”.現(xiàn)在,作為一部世界科學(xué)名著,《九章算術(shù)》已經(jīng)被譯成許多種文字出版.
《算經(jīng)十書》中的第三部是《海島算經(jīng)》,它是三國時期劉徽（約225—約295）所作.這部書中講述的都是利用標桿進行兩次、三次、最復(fù)雜的是四次測量來解決各種測量數(shù)學(xué)的問題.這些測量數(shù)學(xué),正是中國古代非常先進的地圖學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).此外,劉徽對《九章算術(shù)》所作的注釋工作也是很有名的.一般地說,可以把這些注釋看成是《九章算術(shù)》中若干算法的數(shù)學(xué)證明.劉徽注中的“割圓術(shù)”開創(chuàng)了中國古代圓周率計算方面的重要方法（參見本書第98頁）,他還首次把極限概念應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)問題.
《算經(jīng)十書》的其余幾部書也記載有一些具有世界意義的成就.例如《孫子算經(jīng)》中的“物不知數(shù)”問題（一次同余式解法,參見本書第106頁）,《張丘建算經(jīng)》中的“百雞問題”（不定方程問題）等等都比較著名.而《緝古算經(jīng)》中的三次方程解法,特別是其中所講述的用幾何方法列三次方程的方法,也是很具特色的.
《綴術(shù)》是南北朝時期著名數(shù)學(xué)家祖沖之的著作.很可惜,這部書在唐宋之際公元十世紀前后失傳了.宋人刊刻《算經(jīng)十書》的時候就用當時找到的另一部算書《數(shù)術(shù)記遺》來充數(shù).祖沖之的著名工作——關(guān)于圓周率的計算（精確到第六位小數(shù)）,記載在《隋書?律歷志》中（參見本書第101頁）.
《算經(jīng)十書》中用過的數(shù)學(xué)名詞,如分子、分母、開平方、開立方、正、負、方程等等,都一直沿用到今天,有的已有近兩千年的歷史了.
宋元算書
中國古代數(shù)學(xué),經(jīng)過從漢到唐一千多年間的發(fā)展,已經(jīng)形成了更加完備的體系.在這基礎(chǔ)上,到了宋元時期（公元十世紀到十四世紀）又有了新的發(fā)展.宋元數(shù)學(xué),從它的發(fā)展速度之快、數(shù)學(xué)著作出現(xiàn)之多和取得成就之高來看,都可以說是中國古代數(shù)學(xué)史上最光輝的一頁.
特別是公元十三世紀下半葉,在短短幾十年的時間里,出現(xiàn)了秦九韶（1202—1261）、李冶（1192—1279）、楊輝、朱世杰四位著名的數(shù)學(xué)家.所謂宋元算書就指的是一直流傳到現(xiàn)在的這四大家的數(shù)學(xué)著作,包括：
秦九韶著的《數(shù)書九章》（公元1247年）；
李冶的《測圓海鏡》（公元1248年）和《益古演段》（公元1259年）；
楊輝的《詳解九章算法》（公元1261年）、《日用算法》（公元1262年）、《楊輝算法》（公元1274—1275年）；
朱世杰的《算學(xué)啟蒙》（公元1299年）和《四元玉鑒》（公元1303年）.
《數(shù)書九章》主要講述了兩項重要成就：高次方程數(shù)值解法和一次同余式解法（分別參見本書第119頁和第110頁）.書中有的問題要求解十次方程,有的問題答案竟有一百八十條之多.《測圓海鏡》和《益古演段》講述了宋元數(shù)學(xué)的另一項成就：天元術(shù)（用代數(shù)方法列方程,參見本書第121頁）；也還講述了直角三角形和內(nèi)接圓所造成的各線段間的關(guān)系,這是中國古代數(shù)學(xué)中別具一格的幾何學(xué).楊輝的著作講述了宋元數(shù)學(xué)的另一個重要側(cè)面：實用數(shù)學(xué)和各種簡捷算法.這是應(yīng)當時社會經(jīng)濟發(fā)展而興起的一個新的方向,并且為珠算盤的產(chǎn)生創(chuàng)造了條件.朱世杰的《算學(xué)啟蒙》不愧是當時的一部啟蒙教科書,由淺入深,循序漸進,直到當時數(shù)學(xué)比較高深的內(nèi)容.《四元玉鑒》記載了宋元數(shù)學(xué)的另兩項成就：四元術(shù)（求解高次方程組問題,參見本書第123頁）和高階等差級數(shù)、高次招差法（參見本書第131頁）.
宋元算書中的這些成就,和西方同類成果相比：高次方程數(shù)值解法比霍納（1786—1837）方法早出五百多年,四元術(shù)要比貝佐（1730—1783）①早出四百多年,高次招差法比牛頓（1642—1727）等人早出近四百年.
宋元算書中所記載的輝煌成就再次證明：直到明代中葉之前,中國科學(xué)技術(shù)的許多方面,是處在遙遙領(lǐng)先地位的.
宋元以后,明清時期也有很多算書.例如明代就有著名的算書《算法統(tǒng)宗》.這是一部風(fēng)行一時的講珠算盤的書.入清之后,雖然也有不少算書