我想樓主之所以問這樣的一個問題,是因為樓主對梯度和法向量的理解不夠深入,而且被“等值函數(shù)的法向量等于其梯度”這樣一個貌似為定理的等式迷惑了,其實這個并不是什么定理,也不是什么等式,而只是等值函數(shù)的法向量的表達(dá)式與函數(shù)的梯度的表達(dá)式一致而已,并非兩者之間必然的存在關(guān)系,因為你應(yīng)該有如下認(rèn)識：
梯度是對一個函數(shù)而言的,它代表此函數(shù)變化最快的方向,設(shè)有函數(shù)W=f(x,y,z),則其梯度為：
GradW=∂f/∂xi+∂f/∂yj+∂f/∂zk
而對于法向量,其存在是對于幾何實體存在的,如曲線或曲面,對于函數(shù)W=f(x,y,z)其代表的幾何實體可以是多種多樣的,如變形為W-f(x,y,z)=0,則代表四維幾何體,若對W取某特定值C,即f(x,y,z)=C,則代表三維空間的等值曲面.此時我們關(guān)注第二種情形,即函數(shù)W=f(x,y,z)取某定值C,此時f(x,y,z)=C,則為所謂的等值函數(shù),其代表著等值曲面,對于等量面f(x,y,z)=C,其法向量的求解為n=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)（法向量的求解方法如果你不記得了,請參照書本,基本原理為假設(shè)x,y,z的參數(shù)方程,利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得到法向量）,至此,對比GradW與n,你可以發(fā)現(xiàn)兩者表達(dá)式一致,所以有等值函數(shù)f(x,y,z)=C的法向量與函數(shù)W=f(x,y,z)的梯度相等這一說法,從此中可以看出正是因為“等值函數(shù)的法向量為什么等于其梯度 ”這一說法掩蓋了梯度是對函數(shù)W=f(x,y,z)而言,法向量是對等量面f(x,y,z)=C而言這一實質(zhì),才有你的困惑的產(chǎn)生,對上述說法的更準(zhǔn)確的描述應(yīng)該是：（參照復(fù)旦數(shù)學(xué)系教材）梯度函數(shù)是由數(shù)量函數(shù)W=f(x,y,z)產(chǎn)生的,在每一點P處的梯度方向與過P點的等量面f(x,y,z)=C在這點法線方向相同.并且GradW=n