你給的這個(gè)向量不等式,可以根據(jù)三角形的三角不等式進(jìn)行證明.
三角不等式：△ABC中,三邊滿足不等式：
　　|a - b| < c < a + b；　　　　　　　　　　　　　①
即：三角形中的任意一邊,大于其余兩邊之差,小于這兩邊之和.
（注：上面的 a、b、c 都是邊長(zhǎng),是數(shù)量；下面討論中的a、b、c 都是向量）
對(duì)于你給的不等式,可以拆分為兩個(gè),要分別證明：
　　|a| - |b| ≤ |a+b| ≤ |a| + |b|；　　　　　　　　　?、?br/>　　|a| - |b| ≤ |a- b| ≤ |a| + |b|；　　　　　　　　　?、?br/>1、證明 ② 式：
　　需分兩種情況討論：
（1）兩向量不共線；
　　此時(shí),將a、b首尾相接,可形成一個(gè)三角形的兩邊.而它們的向量之和：a+b,恰好是這個(gè)三角形的第三條邊,記作：c；根據(jù)①式有：
　　｜|a| - |b|｜ < |c| < |a| + |b|；　　　　　　　　　?、?br/>其中,c= a + b；而根據(jù)“一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值,肯定不小于這個(gè)數(shù)本身”可知：
　　|a| - |b| ≤ ｜|a| - |b|｜
將上面的式子代入 ④ 式,可知：
　　|a| - |b| < |a+b| < |a| + |b|；
顯然,該式滿足不等式 ②；
（2）兩向量共線；
　　此時(shí),若將a、b首尾相接,得到的合向量的長(zhǎng)度只有兩種值：
1）|a+b| = |a| + |b|；
2）|a+b| = ｜|a| - |b|｜；
　　而這兩個(gè)式子也都滿足 ②.
綜合（1）、（2）可知,不等式 ② 對(duì)于任何兩個(gè)向量都成立.
2、證明 ③ 式：
　　對(duì)于 ③ 式,可以將其轉(zhuǎn)換為 ② 式的形式,然后予以證明：
設(shè)向量 x= -b；則 ③ 式變?yōu)椋?br/>　　|a| - |-x| ≤ |a+x| ≤ |a| + |-x|；
因?yàn)樨?fù)向量的絕對(duì)值與正向量相等,所以上式等價(jià)于：
　　|a| - |x| ≤ |a+x| ≤ |a| + |x|；　　　　　　　　　　　　⑤
顯然,⑤ 式符合 ② 式,所以成立；而 ⑤ 式又等價(jià)于 ③ 式,所以 ③ 式也成立.
綜合 1、2,可證明你給的不等式對(duì)于任何兩個(gè)向量都成立.