三角形式的證明
√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]
證明：[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2·√(a^2+b^2)·√(c^2+d^2)
≥a^2+b^2+c^2+d^2+2|ac+bd|
≥a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+bd)
=a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2
=(a+c)^2+(b+d)^2
兩邊開根號(hào)即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]
注：| |表示絕對(duì)值.
向量形式的證明
令m=(a1,a2,…,an),n=(b1,b2,…,bn)
m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2) ×cos
∵cos≤1
∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn)
注：“√”表示平方根.