證明：
f'(x)=(1-x)e^(-x),當f'(x)=0時,有x=1.當x＞1時,f'(x)＜0；當x＜1時,f'(x)＞0.所以,在x=1時f(x)取得極大值和最大值.
又當x趨近于+∞時,f(x)正向趨近于0,且f(0)=0,所以,如果存在x1≠x2使得f(x1)=f(x2),不失一般性令x1＜x2,則0＜x1＜1,x2＞1.
對于任意的x∈(0,1),分別取兩點1-x、1+x.現(xiàn)在比較f(1-x)和f(1+x)的大小.
f(1+x)-f(1-x)=[1+x-(1-x)e^(2x)]/e^(1+x)
令分子部分為g(x)=1+x-(1-x)e^(2x),x∈(0,1).求導(dǎo)有g(shù)'(x)=1+(2x-1)e^(2x),x∈(0,1).
當x=0時,g'(x)=0；當x＞0時,1+(2x-1)e^(2x)單調(diào)遞增且大于0.所以,在(0,1)上g(x)是單調(diào)增函數(shù),且g(x)＞g(0)=0,有f(1+x)-f(1-x)＞0,即f(1+x)＞f(1-x)!
因為0＜1-x＜1、1+x＞1、f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減且f(1+x)＞f(1-x),所以在1+x點的右側(cè)必能找到一點x2,使得f(1-x)=f(x2),x2＞1+x.
故(1-x)+x2＞(1-x)+(1+x)=2
令1-x=x1,則為x1+x2＞2 得證