(1)求橢圓方程
由已知可得
a:b=√2：1
a²=b²+(√2)²
解得a²=4,b²=2
∴橢圓方程為x²/2+y²/4=1
(2)證：直線AB的斜率為定值.
由已知,P點坐標為（1,√2）,若PA的斜率為k,那么PB的斜率為-k.其方程分別為：
y=k(x-1)+√2； y=-k(x-1)+√2,
分別代入橢圓方程,得：
(k²+2)x²-(2k²-2√2k)x+(k²-2√2k-2)=0
(k²+2)x²-(2k²+2√2k)x+(k²+2√2k-2)=0
由于x=1是以上兩個方程的解,所以將這兩個方程分解因式得
(x-1)[(k²+2)x-(k²-2√2k-2)]=0
(x-1)[(k²+2)x-(k²+2√2k-2)]=0
所以x1=(k²-2√2k-2)/(k²+2),x2=(k²+2√2k-2)/(k²+2)
所以直線AB的斜率為：
(y2-y1)/(x2-x1)
=[-k(x2-1)+√2-k(x1-1)-√2]/(x2-x1)
=[2-(x1+x2)]k/(x2-x1)
=[2-2(k²-2)/(k²+2)]k/[2*2√2k/(k²+2)]
=[2-2(k²-2)/(k²+2)]k/[2*2√2k/(k²+2)]
=√2
直線AB的斜率為定值√2得證.
(3)求三角形PAB面積的最大值
令A(yù)點坐標為(√2cosa,2sina),直線AB方程為y-2sina=√2(x-√2cosa),
P到AB的距離PD為|√2-√2+2sina-2cosa|/√3=(2/√3)*|sina-cosa|
AB的距離為|x1-x2|*√(1+k^2)=√3*|x1-x2|,
把方程y-2sina=√2(x-√2cosa),代入橢圓方程,得
x^2+√2(sina-cosa)-2sinacosa=0,
x1=√2cosa,x2=-√2sina
于是PAB的面積=(1/2)*|PD|*|AB|
=(1/2)*√3*√2|sina+cosa|*(2/√3)|sina-cosa|
=√2|sina^2-cosa^2 |,
所以面積最大值為√2.
經(jīng)驗之談：在涉及到橢圓的求最大值、最小值問題,一般把橢圓用參數(shù)方程表示是捷徑,甚至在高中范圍內(nèi)是唯一方法.