在射線 DB 上存在一點(diǎn) P ,在射線 CB 上存在一點(diǎn) H .
使得 AP ⊥ PH ,且 AP = PH 成立,證明如下:
當(dāng) 點(diǎn) P 如圖① 所示位 置時(shí),不妨設(shè) PA = PH ,過點(diǎn) P 作 PQ ⊥ BC ,PM ⊥ CD ,PN ⊥ AD ,垂足分別為 Q,M ,N .
若 PA = PH .由 PM = PN 得:
AN=PQ ,∴ Rt△PQH ≌ Rt△ APN
∴∠HPQ = ∠PAN .
又 ∠PAN + ∠APN = 90°
∴∠APN + ∠HPQ = 90°
∴ AP ⊥ PH .
當(dāng)點(diǎn) P 在如圖②所示位置時(shí),
過點(diǎn) P 作 PM ⊥ BC ,PN ⊥ AB ,
垂足分別為 M ,N .
同理可證 Rt△PMH ≌ Rt△PAN .
∠MHP = ∠NAP .
又 ∠MHP = ∠HPN ,
∠HPA = ∠NPA + ∠HPN = ∠MHP + ∠HPM = 90° ,
∴ PH ⊥ PA .
當(dāng) P 在如圖③所示位置時(shí),
過點(diǎn) P 作 PN ⊥ BH ,垂足為 N ,PM ⊥ AB 延長線,垂足為 M.
同理可證 Rt△PHM ≌ Rt△PMA .
∴ PH ⊥ PA .