由于已知R3為向量空間,而V是其子集,故對(duì)V,只須驗(yàn)證其元素對(duì)于向量加法和數(shù)乘向量封閉即可.
設(shè)v1=(x1,y1,z1),v2= (x2,y2,z2) 為V的任意兩個(gè)向量,即:x1+y1+z1= 0,x2+y2+z2 = 0.
設(shè)k為任意實(shí)數(shù).則有:kv1 = (kx1+ky1+kz1),而kx1+ky1+kz1=k(x1+y1+z1)=k* 0=0;
即kv1仍為V的向量;
v1+v2 = (x1+x2,y1+y2,z1+z2),而(x1+x2)+( y1+y2)+ ( z1+z2)=(x1+y1+z1)+(x2+y2+z2)=0+0=0;
即v1+v2 仍為V的向量.這就證明了集合V對(duì)于加法和數(shù)量乘向量這兩種運(yùn)算封閉,因而,V是一向量空間.
由于:方程組:x +y+z =0,的秩為1,故其解空間的秩為3-1=2.即V的維數(shù)為2.
其基中有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量.可取為:(1,-1,0),(1,0,-1).為其基.
(取法不是唯一的.)