log(2)3=lg3/lg2
log(3)4=lg4/lg3
log(2)3-log(3)4=lg3/lg2-lg4/lg3=[(lg3)^2-lg2lg4]/(lg2lg3)
因為分母lg2lg3大于0.因此只要比較分子的正負就可以判斷二個數(shù)的大小
又根據(jù)基本不等式,簡單推導(dǎo)如下：
若a,b是正數(shù),則
[(a+b)/2]^2-ab=(a^2+2ab+b^2)/4-ab=[(a-b)/2]^2≥0
所以[(a+b)/2]^2≥ab,也就是ab≤[(a+b)/2]^2
在本題中的應(yīng)用是
lg2lg4≤[(lg2+lg4)/2]^2
所以
(lg3)^2-lg2lg4
≥(lg3)^2-[(lg2+lg4)/2]^2
=(lg3)^2-(lg8/2)^2
=(lg3)^2-(lg√8)^2 >0
∴l(xiāng)og(2)3-log(3)4>0
∴l(xiāng)og(2)3>log(3)4