由A1+1/A1=2S1=2*A1知,A1=1；
由A2+1/A2=2S2=2*A2+2*A1,得A2=√2-1；
由A3+1/A3=2S3,得A3=√3-√2；
……
推測 An=√n-√(n-1)；
據(jù)此進(jìn)行下列驗(yàn)算：
Sn=A1+A2+A3+……+An-1+An=1+(√2-1)+(√3-√2)+……+[√(n-1)-√(n-2)]+[√n-√(n-1)]=√n；
An+1/An=[√n-√(n-1)]+1/[√n-√(n-1)]=[√n-√(n-1)]+[√n+√(n-1)]/[n-(n-1)]=2√n；
從而 An+1/An=2*Sn；
An=√n-√(n-1)即為該數(shù)列通項(xiàng)公式；前三個式子不能先化簡再計算嗎？算起來很麻煩 如果先化簡成簡單式子，就用不著驗(yàn)算啊，有更簡便寫的算法嗎？其實(shí)就是算兩個一元二次方程，系數(shù)都類似，并不難算。難的是求解通項(xiàng)式過程，想直接根據(jù)數(shù)列各項(xiàng)之和導(dǎo)出通項(xiàng)公式更麻煩，可能需要很多步驟、列許多式子、觀察總結(jié)，同樣也要證明一下。如能預(yù)知通項(xiàng)形式直接予以證明那將是最簡單的捷徑了。可我是高二生啊，這種方法好是好，我用不起啊，老師沒教過啊，他說只能用無窮推有限，這樣算肯定是他不認(rèn)可的題目并未規(guī)定做題方法，你哪種拿手就用哪種。但數(shù)列前三項(xiàng)先求出再總結(jié)規(guī)律或不能缺省，一般采用數(shù)歸納法，其實(shí)也就是按照找出或發(fā)現(xiàn)的規(guī)律先作假定或推測，然后再證明推測合理且滿足要求。 如上；先由A1+1/A1=2S1=2A1求得A1=1，S1=√1；次由A2+(1/A2)=2S2=2A2+2A1=2A2+2求得 A2=√2-1，S2=√2；再由A3+(1/A3)=2S3=2A3+2√2，求得A3=√3-√2，S3=√3；……假定Sn=√n成立（或假定An=√n-√(n-1)成立），則An+(1/An)=2Sn=2√n，可求得 An=√n-√(n-1)；據(jù)歸納法，當(dāng)為n+1時，A(n+1)+1/(A(n+1))=2S(n+1)=2A(n+1)+2Sn，1/(A(n+1))-A(n+1)=2Sn=2√n；可求得 A(n+1)=√(n+1)-√n，S(n+1)=√(n+1)；說明上述假設(shè)正確；所以，以An=√n-√(n-1)為數(shù)列通項(xiàng)公式，不需要再作其它證明，但到少求解五個類同一元二次方程。