李善蘭在他所著的《方圓闡幽》一書中,發(fā)明了尖錐術(shù),具有解析幾何的啟蒙思想,得出了一些重要的積分公式,創(chuàng)立了二次平方根的冪級數(shù)展開式,各種三角函數(shù),反三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式,這是李善蘭也是19世紀(jì)中國數(shù)學(xué)界最重大的成就.
李善蘭的尖錐理論,如果用最通俗的語言來表述,就是他首先把一個自然數(shù)n用一個平尖錐的圖形來表示,如果這個數(shù)是一個平方數(shù),就用一個立尖錐來表示,如果這個數(shù)是一個立方數(shù)就用一個三乘尖錐來表示,但是,在表示乘方數(shù)的時候,尖錐的上面就由平體變成了凹形,乘方越多,凹的就越厲害.
然后,李善蘭把這個尖錐體的乘方數(shù)xn用線段來表示,把這個尖錐體迭積成n乘的尖錐面.這種尖錐面由相互垂直的底線、高線和凹向的尖錐曲線組成.乘數(shù)愈多,也就是說冪次愈高,尖錐曲線的凹就愈甚.
李善蘭在《方圓闡微》中,還采用了一種叫做“分離元數(shù)”的方法,歸納出一個二項(xiàng)平方根展開式,然后在四分之一單位圓內(nèi)應(yīng)用尖錐術(shù)就可以計算出一個方內(nèi)圓外尖錐的合積,從而獲得圓周率π的無窮級數(shù)值.李善蘭創(chuàng)立的尖錐面,是一種處理代數(shù)問題的幾何模型.它由互相垂直的底線、高線和凹向的尖錐曲線組成.并且在考慮尖錐合積的問題時,也是使每個尖錐有共同方向的底線和高線.這樣的底線和高線具有平面直角坐標(biāo)系中的橫、縱兩個坐標(biāo)的作用.
而且,這種尖錐面是由乘方數(shù)漸增漸迭而得.因此,尖錐曲線是由隨同乘方數(shù)一起漸增漸迭的底線和高線所確定的點(diǎn)變動而成的軌跡.由于李善蘭把每一條尖錐曲線看作是無窮冪級數(shù)中相應(yīng)的項(xiàng),這實(shí)際上就給出了這些尖錐曲線的代數(shù)表示數(shù).
李善蘭的尖錐求積術(shù),實(shí)質(zhì)上就是近代數(shù)學(xué)中的冪函數(shù)的定積分公式和逐項(xiàng)積分法則.