方法：不等式的放縮法
證明：依題意可知,ai＞0,bi＞0(i=1,2,3,...,n;n≥3)
令 a1/b1=k1,a2/b2=k2,a3/b3=k3,...,an/bn=kn
則有 0＜k1＜k2＜k3＜...＜kn
a1=k1·b1,a2=k2·b2,a3=k3·b3,...,an=kn·bn
(a1+a2+...+an)/(b1+b2+...+bn)=(k1·b1+k2·b2+k3·b3+...+kn·bn)/(b1+b2+...+bn)
且 (k1·b1+k2·b2+k3·b3+...+kn·bn)/(b1+b2+...+bn)＞(k1·b1+k1·b2+k1·b3+...+k1·bn)/(b1+b2+...+bn)=k1·(b1+b2+b3+...+bn)/(b1+b2+...+bn)=k1
(k1·b1+k2·b2+k3·b3+...+kn·bn)/(b1+b2+...+bn)＜(kn·b1+kn·b2+kn·b3+...+kn·bn)/(b1+b2+...+bn)=kn·(b1+b2+b3+...+bn)/(b1+b2+...+bn)=kn
=> k1＜(k1·b1+k2·b2+k3·b3+...+kn·bn)/(b1+b2+...+bn)＜kn
=> a1/b1＜(k1·b1+k2·b2+k3·b3+...+kn·bn)/(b1+b2+...+bn)＜an/bn
此題證畢
注：本題中將k1和kn作為兩個邊界值,分別為最小和最大,夾在其中的所有值都分別大于最小值,分別小于最大值,向最小值方向縮小,向最大值方向放大,即為不等式的放縮法.