如圖已知P為⊙O外一點，PA為⊙O的切線，B為⊙O上一點，且PA=PB，C為優(yōu)弧AB上任意一點（不與A、B重合），連接OP、AB，AB與OP相交于點D，連接AC、BC． （1）求證：PB為⊙O的切線； （2）若tan∠BCA
如圖已知P為⊙O外一點，PA為⊙O的切線，B為⊙O上一點，且PA=PB，C為優(yōu)弧
 |
| AB |
上任意一點（不與A、B重合），連接OP、AB，AB與OP相交于點D，連接AC、BC．
（1）求證：PB為⊙O的切線；
（2）若tan∠BCA=
，⊙O的半徑為
，求弦AB的長．
優(yōu)質(zhì)解答
（1）證明：連接OA，OB，如圖所示：
∵AP為圓O的切線，
∴∠OAP=90°，
在△OAP和△OBP中，
| | AP＝BP(已知) | | OA＝OB(半徑相等) | | OP＝OP(公共邊) |
| |
，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
則BP為圓O的切線；
（2）延長線段BO，與圓O交于E點，連接AE，
∵BE為圓O的直徑，∴∠BAE=90°，
∵∠AEB和∠ACB都對
|
| AB |
，
∴∠AEB=∠ACB，
∴tan∠AEB=tan∠ACB=
，
設(shè)AB=2x，則AE=3x，
在Rt△AEB中，BE=2
，
根據(jù)勾股定理得：（2x）
2+（3x）
2=（2
）
2，
解得：x=2或x=-2（舍去），
則AB=2x=4．
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