n階方陣A可對角化的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量!
[證明] 充分性：已知A具有n個線性無關的特征向量X1,X2,……,則AXi=入iXi i=1,2,……,n
A[X1 X2 ……Xn]=[入1X1 入2X2 ……入nXn]
=[X1 X2 ……Xn]*
X1,X2,Xn線性無關,故P=[X1 X2 Xn]為滿秩矩陣,令V=*,則有AP=PV
V=AP/P
必要性：已知存在可逆方陣P,使
AP/P=V=*
將P寫成列向量P=[P1 P2 Pn] Pn為n維列向量
[AP1 AP2……APn]=[入1P1 入2P2……入nPn]
可見,入i為A的特征值,Pi為A的特征向量,
所以,A具有n個線性無關的特征向量.
注：因為上面的過程是我自己手工打上去的,好多符號百度都打不出來,將就能看懂就好,其中*表示的是一個n階對角矩陣,對角線上的矢量分別為入1,入2……入n
n階矩陣在復數(shù)范圍內(nèi),一定有n個特征值（重特征值按重數(shù)計算個數(shù)）,從這個意義上說,矩陣的特征值個數(shù)與矩陣的階數(shù)是有關系的.n階矩陣在實數(shù)范圍內(nèi)有多少個特征值就不一定了.
但是有一個重要的結論需要知道：n階實對稱矩陣一定有n個實特征值（重特征值按重數(shù)計算個數(shù)）.