質(zhì)量為M、m 的兩個(gè)物體距離為 r 時(shí),有萬有引力 GMm/r^2
(附錄說明：^2 代表平方運(yùn)算,^3 代表立方運(yùn)算）
如果 m 繞 M 做圓周運(yùn)動(dòng),那么萬有引力即為向心力.
GMm/r^2 = m*v^2/r
其中 v = 2πr/T.代入上式
GM/r^2 = 4 π^2 r/T^2
所以 T^2 = (4π^2/GM)*r^3 = 常數(shù)*r^3
以上即為 開氏定律 的原理.
對(duì)于本問題,衛(wèi)星a的半徑 ra = R+R = 2R,衛(wèi)星b的半徑為 rb = R+3R = 4R
所以 兩衛(wèi)星的周期的平方比為
(Ta^2):(Tb^2) = (ra^3):(rb^3) = (2R)^3 : (4R)^3 = 8:64 = 1:8
因此 周期比為
Ta : Tb = 1 : √8 = 1 : 2√2
第二問
以兩衛(wèi)星處于同一經(jīng)緯度時(shí)刻為時(shí)間零點(diǎn).以時(shí)間 t 作為自變量,以從零點(diǎn)時(shí)刻開始算起轉(zhuǎn)過的角度 Y 為因變量.則
Y = ωt = 2 π t/T （ω 代表角速度）
兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)時(shí),Ya - Yb = (2k+1)π
a至少經(jīng)過的周期 對(duì)應(yīng) k = 0
Ya - Yb = π
2πt*(1/Ta - 1/Tb) = π
2πt*[1/Ta - 1/(2√2Ta)] = π
2t/Ta * (1 - 1/(2√2）] = 1
t/Ta = (4+√2)/7
t = 0.77 Ta