例1 已知實數(shù)a、b、c、R、P滿足條件PR＞1,Pc+2b+Ra=0.求證：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有實根.
證明 △=（2b）2-4ac.①若一元二次方程有實根,
必須證△≥0.由已知條件有2b=-（Pc+Ra）,代入①,得
△ =（Pc+Ra）2-4ac
=（Pc）2+2PcRa+（Ra）2-4ac
=（Pc-Ra）2+4ac（PR-1）.
∵（Pc-Ra）2≥0,又PR＞1,a≠0,
（1）當(dāng)ac≥0時,有△≥0；
（2）當(dāng)ac＜0時,有△=（2b）2-4ac＞0.
（1）、（2）證明了△≥0,故方程ax2+2bx+c=0必有實數(shù)根.
求證：對任一矩形A,總存在一個矩形B,使得矩形A和矩形B的周長和面積比都等于常數(shù)k（k≥1）.
分析 設(shè)矩形A及B的長度分別是a,b及x,y,為證明滿足條件的矩形B存在,只須證明方程組
（k,a,b為已知數(shù)）
有正整數(shù)解即可.
再由韋達(dá)定理,其解x,y可以看作是二次方程
z2-k（a+b）z+kab=0的兩根.
∵k≥1,故判別式
△ =k2（a+b）2-4kab
≥k2（a+b）2-4k2ab
=k2（a-b）2≥0,
∴上述二次方程有兩實根z1,z2.
又z1+z2=k（a+b）＞0,z1z2=kab＞0,
從而,z1＞0,z2＞0,即方程組恒有x＞0,y＞0的解,所以矩形B總是存在的.