第一章 事件與概率
1.1 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及表示下列事件的樣本點(diǎn)集合.
(1)10件產(chǎn)品中有1件是不合格品,從中任取2件得1件不合格品.
(2)一個(gè)口袋中有2個(gè)白球、3個(gè)黑球、4個(gè)紅球,從中任取一球,(ⅰ)得白球,(ⅱ)得紅球.
解 (1)記9個(gè)合格品分別為,記不合格為次,則



(2)記2個(gè)白球分別為 , ,3個(gè)黑球分別為 , , ,4個(gè)紅球分別為 , , , .則 { , , , , , , , , }
(ⅰ){ , } (ⅱ){ , , , }
1.2 在數(shù)學(xué)系的學(xué)生中任選一名學(xué)生,令事件A表示被選學(xué)生是男生,事件B表示被選學(xué)生是三年級(jí)學(xué)生,事件C表示該生是運(yùn)動(dòng)員.
(1) 敘述 的意義.
(2)在什么條件下 成立?
(3)什么時(shí)候關(guān)系式 是正確的?
(4) 什么時(shí)候 成立?
解 (1)事件 表示該是三年級(jí)男生,但不是運(yùn)動(dòng)員.
(2) 等價(jià)于 ,表示全系運(yùn)動(dòng)員都有是三年級(jí)的男生.
(3)當(dāng)全系運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)學(xué)生時(shí).
(4)當(dāng)全系女生都在三年級(jí)并且三年級(jí)學(xué)生都是女生時(shí)`.
1.3 一個(gè)工人生產(chǎn)了 個(gè)零件,以事件 表示他生產(chǎn)的第 個(gè)零件是合格品（ ）.用 表示下列事件：
(1)沒有一個(gè)零件是不合格品；
(2)至少有一個(gè)零件是不合格品；
(3)僅僅只有一個(gè)零件是不合格品；
(4)至少有兩個(gè)零件是不合格品.
解 (1); (2);(3);
(4)原事件即“至少有兩個(gè)零件是合格品”,可表示為 ；
1.4 證明下列各式：
(1) ;
(2)
(3);
(4)
(5)
(6)
證明 （1）—（4）顯然,（5）和（6）的證法分別類似于課文第10—12頁（1.5）式和(1.6)式的證法.
1.5 在分別寫有2、4、6、7、8、11、12、13的八張卡片中任取兩張,把卡片上的兩個(gè)數(shù)字組成一個(gè)分?jǐn)?shù),求所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)的概率.
解 樣本點(diǎn)總數(shù)為 .所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)必須分子分母或?yàn)?、11、13中的兩個(gè),或?yàn)?、4、6、8、12中的一個(gè)和7、11、13中的一個(gè)組合,所以事件 “所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)”包含 個(gè)樣本點(diǎn).于是
.
1.6 有五條線段,長(zhǎng)度分別為1、3、5、7、9.從這五條線段中任取三條,求所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率.
解 樣本點(diǎn)總數(shù)為 .所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形,這三條線段必須是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9.所以事件 “所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形”包含3個(gè)樣本點(diǎn),于是 .
1.7 一個(gè)小孩用13個(gè)字母 作組字游戲.如果字母的各種排列是隨機(jī)的（等可能的）,問“恰好組成“MATHEMATICIAN”一詞的概率為多大?
解 顯然樣本點(diǎn)總數(shù)為 ,事件 “恰好組成“MATHEMATICIAN”包含 個(gè)樣本點(diǎn).所以
1.8 在中國(guó)象棋的棋盤上任意地放上一只紅“車”及一只黑“車”,求它們正好可以相互吃掉的概率.
解 任意固定紅“車”的位置,黑“車”可處于 個(gè)不同位置,當(dāng)它處于和紅“車”同行或同列的 個(gè)位置之一時(shí)正好相互“吃掉”.故所求概率為

1.9 一幢10層樓的樓房中的一架電梯,在底層登上7位乘客.電梯在每一層都停,乘客從第二層起離開電梯,假設(shè)每位乘客在哪一層離開電梯是等可能的,求沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開的概率.
解 每位乘客可在除底層外的9層中任意一層離開電梯,現(xiàn)有7位乘客,所以樣本點(diǎn)總數(shù)為 .事件 “沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開”相當(dāng)于“從9層中任取7層,各有一位乘客離開電梯”.所以包含 個(gè)樣本點(diǎn),于是 .
1.10 某城市共有10000輛自行車,其牌照編號(hào)從00001到10000.問事件“偶然遇到一輛自行車,其牌照號(hào)碼中有數(shù)字8”的概率為多大?
解 用 表示“牌照號(hào)碼中有數(shù)字8”,顯然 ,所以
-
1.11 任取一個(gè)正數(shù),求下列事件的概率：
(1)該數(shù)的平方的末位數(shù)字是1；
(2)該數(shù)的四次方的末位數(shù)字是1；
(3)該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1；
解 (1) 答案為 .
(2)當(dāng)該數(shù)的末位數(shù)是1、3、7、9之一時(shí),其四次方的末位數(shù)是1,所以答案為
(3)一個(gè)正整數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字決定于該數(shù)的最后兩位數(shù)字,所以樣本空間包含 個(gè)樣本點(diǎn).用事件 表示“該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1”,則該數(shù)的最后一位數(shù)字必須是1,設(shè)最后第二位數(shù)字為 ,則該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字為1和3 的個(gè)位數(shù),要使3 的個(gè)位數(shù)是1,必須 ,因此 所包含的樣本點(diǎn)只有71這一點(diǎn),于是
.
1.12 一個(gè)人把6根草掌握在手中,僅露出它們的頭和尾.然后請(qǐng)另一個(gè)人把6個(gè)頭兩兩相接,6個(gè)尾也兩兩相接.求放開手以后6根草恰好連成一個(gè)環(huán)的概率.并把上述結(jié)果推廣到 根草的情形.
解 (1)6根草的情形.取定一個(gè)頭,它可以與其它的5個(gè)頭之一相接,再取另一頭,它又可以與其它未接過的3個(gè)之一相接,最后將剩下的兩個(gè)頭相接,故對(duì)頭而言有 種接法,同樣對(duì)尾也有 種接法,所以樣本點(diǎn)總數(shù)為 .用 表示“6根草恰好連成一個(gè)環(huán)”,這種連接,對(duì)頭而言仍有 種連接法,而對(duì)尾而言,任取一尾,它只能和未與它的頭連接的另4根草的尾連接.再取另一尾,它只能和未與它的頭連接的另2根草的尾連接,最后再將其余的尾連接成環(huán),故尾的連接法為 .所以 包含的樣本點(diǎn)數(shù)為 ,于是
(2)根草的情形和(1)類似得
1.13 把 個(gè)完全相同的球隨機(jī)地放入 個(gè)盒子中（即球放入盒子后,只能區(qū)別盒子中球的個(gè)數(shù),不能區(qū)別是哪個(gè)球進(jìn)入某個(gè)盒子,這時(shí)也稱球是不可辨的）.如果每一種放法都是等可能的,證明(1)某一個(gè)指定的盒子中恰好有 個(gè)球的概率為 ,
(2)恰好有 個(gè)盒的概率為 ,
(3)指定的 個(gè)盒中正好有 個(gè)球的概率為 ,
解 略.
1.14 某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車到達(dá),乘客到達(dá)汽車站的時(shí)刻是任意的,求一個(gè)乘客候車時(shí)間不超過3分鐘的概率.
解 所求概率為
1.15 在 中任取一點(diǎn) ,證明 的面積之比大于 的概率為 .
解 截取 ,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) 落入 之內(nèi)時(shí) 的面積之比大于 ,因此所求概率為 .
1.16 兩艘輪船都要?？客粋€(gè)泊位,它們可能在一晝夜的任意時(shí)刻到達(dá).設(shè)兩船停靠泊位的時(shí)間分別為1小時(shí)與兩小時(shí),求有一艘船?？坎次粫r(shí)必須等待一段時(shí)間的概率.
解 分別用 表示第一、二艘船到達(dá)泊位的時(shí)間.一艘船到達(dá)泊位時(shí)必須等待當(dāng)且僅當(dāng) .因此所求概率為
1.17 在線段 上任取三點(diǎn) ,求：
(1)位于 之間的概率.
(2)能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率.
解 (1) (2)
1.18 在平面上畫有間隔為 的等距平行線,向平面任意地投擲一個(gè)三角形,該三角形的邊長(zhǎng)為 （均小于 ）,求三角形與平行線相交的概率.
解 分別用 表示三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與平行線相合,一條邊與平行線相合,兩條邊與平行線相交,顯然 所求概率為 .分別用 表示邊 ,二邊 與平行線相交,則顯然,,.所以
[ ]
（用例1.12的結(jié)果）
1.19 己知不可能事件的概率為零,現(xiàn)在問概率為零的事件是否一定為不可能事件?試舉例說明之.
解 概率為零的事件不一定是不可能事件.例如向長(zhǎng)度為1的線段內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn).則事件 “該點(diǎn)命中 的中點(diǎn)”的概率等于零,但 不是不可能事件.
1.20 甲、乙兩人從裝有 個(gè)白球與 個(gè)黑球的口袋中輪流摸取一球,甲先取,乙后取,每次取后都有不放回,直到兩人中有一人取到白球時(shí)停止.試描述這一隨機(jī)現(xiàn)象的概率空間,并求甲或乙先取到白球的概率.
解 表示白, 表示黑白, 表示黑黑白,… ,
則樣本空間 { , ,…, },并且 ,
,,…,


甲取勝的概率為 + + +…
乙取勝的概率為 + + +…
1.21 設(shè)事件 及 的概率分別為 、 及 ,求 , , ,
解 由 得

,

1.22 設(shè) 、 為兩個(gè)隨機(jī)事件,證明：
(1);
(2).
證明 (1) =
(2) 由(1)和 得第一個(gè)不等式,由概率的單調(diào)性和半可加性分別得第二、三個(gè)不等式.
1.23 對(duì)于任意的隨機(jī)事件 、 、 ,證明：
證明

1.24 在某城市中共發(fā)行三種報(bào)紙：甲、乙、丙.在這個(gè)城市的居民中,訂甲報(bào)的有45%,訂乙報(bào)的有35%,訂丙報(bào)的有30%,同時(shí)訂甲、乙兩報(bào)的有10%,同時(shí)訂甲、丙兩報(bào)的有8%,同時(shí)訂乙、丙兩報(bào)的有5%,同時(shí)訂三種報(bào)紙的有3%,求下述百分比：
(1)只訂甲報(bào)的；
(2)只訂甲、乙兩報(bào)的；
(3)只訂一種報(bào)紙的；
(4)正好訂兩種報(bào)紙的；
(5)至少訂一種報(bào)紙的；
(6)不訂任何報(bào)紙的.
解 事件 表示訂甲報(bào),事件 表示訂乙報(bào),事件 表示訂丙報(bào).
(1)= =30%
(2)
(3)

+ + = + + =73%
(4)
(5)
(6)
1.26 某班有 個(gè)學(xué)生參加口試,考簽共N張,每人抽到的考簽用后即放回,在考試結(jié)束后,問至少有一張考沒有被抽到的概率是多少?
解 用 表示“第 張考簽沒有被抽到”,.要求 .
, ,……,

,……
所以
1.27 從 階行列式的一般展開式中任取一項(xiàng),問這項(xiàng)包含主對(duì)角線元素的概率是多少?
解 階行列式的展開式中,任一項(xiàng)略去符號(hào)不計(jì)都可表示為 ,當(dāng)且僅當(dāng) 的排列 中存在 使 時(shí)這一項(xiàng)包含主對(duì)角線元素.用 表示事件“排列中 ”即第 個(gè)主對(duì)角線元素出現(xiàn)于展開式的某項(xiàng)中.則
,……
所以
1.29 已知一個(gè)家庭中有三個(gè)小孩,且其中一個(gè)是女孩,求至少有一個(gè)男孩的概率（假設(shè)一個(gè)小孩是男孩或是女孩是等可能的）.
解 用 分別表示男孩和女孩.則樣本空間為：

其中樣本點(diǎn)依年齡大小的性別排列. 表示“有女孩”,表示“有男孩”,則

1.30 設(shè) 件產(chǎn)品中有 件是不合格品,從中任取兩件,
(1)在所取產(chǎn)品中有一件是不合格品的條件下,求另一件也是不合格品的概率.
(2) 在所取產(chǎn)品中有一件是合格品的條件下,求另一件也是不合格品的概率.
解（1）設(shè) 表示“所取產(chǎn)品中至少有一件是不合格品”,表示“所取產(chǎn)品都是不合格品”,則

(2)設(shè) 表示“所取產(chǎn)品中至少有一件合格品”,表示“所取產(chǎn)品中有一件合格品,一件不合格品”.則


1.31個(gè)人用摸彩的方式?jīng)Q定誰得一張電影票,他們依次摸彩,求：
(1)已知前個(gè)人都沒摸到,求第 個(gè)人摸到的概率；
(2)第個(gè)人摸到的概率.
解 設(shè) 表示“第 個(gè)人摸到”,.
(1)
(2)
1.32 已知一個(gè)母雞生 個(gè)蛋的概率為 ,而每一個(gè)蛋能孵化成小雞的概率為 ,證明：一個(gè)母雞恰有 個(gè)下一代（即小雞）的概率為 .
解 用 表示“母雞生 個(gè)蛋”,表示“母雞恰有 個(gè)下一代”,則



1.33 某射擊小組共有20名射手,其中一級(jí)射手4人,二級(jí)射手8人,三級(jí)射手7人,四級(jí)射手一人,一、二、三、四級(jí)射手能通過選拔進(jìn)入決賽的概率分別是0.9、0.7、0.5、0.2,求在一組內(nèi)任選一名射手,該射手能通過選拔進(jìn)入決賽的概率.
解 用 表示“任選一名射手為 級(jí)”,, 表示“任選一名射手能進(jìn)入決賽”,則
1.34 在某工廠里有甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)螺絲釘,它們的產(chǎn)量各占25%,35%,40%,并在各自的產(chǎn)品里,不合格品各占有5%,4%,2%.現(xiàn)在從產(chǎn)品中任取一只恰是不合格品,問此不合格品是機(jī)器甲、乙、丙生產(chǎn)的概率分別等于多少?
解 用 表示“任取一只產(chǎn)品是甲臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)”
表示“任取一只產(chǎn)品是乙臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)”
表示“任取一只產(chǎn)品是丙臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)”
表示“任取一只產(chǎn)品恰是不合格品”.
則由貝葉斯公式：


1.35 某工廠的車床、鉆床、磨床、刨床的臺(tái)數(shù)之比為9:3:2:1,它們?cè)谝欢〞r(shí)間內(nèi)需要修理的概率之比為1:2:3:1.當(dāng)有一臺(tái)機(jī)床需要修理時(shí),問這臺(tái)機(jī)床是車床的概率是多少?
解 則, , ,
, , ,
由貝時(shí)葉斯公式得
1.36 有朋友自遠(yuǎn)方來訪,他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)來的概率分別是0.3、0.2、0.1、0.4.如果他乘火車、輪船、汽車來的話,遲到的概率分別是 、 、 ,而乘飛機(jī)不會(huì)遲到.結(jié)果他遲到了,試問他是乘火車來的概率是多少?
解 用 表示“朋友乘火車來”, 表示“朋友乘輪船來”, 表示“朋友乘汽車來”, 表示“朋友乘飛機(jī)來”, 表示“朋友遲到了”.
則
1.37 證明：若三個(gè)事件 、 、 獨(dú)立,則 、 及 都與 獨(dú)立.
證明 （1）
=
（2）
（3） =
1.38 試舉例說明由 不能推出 一定成立.
解 設(shè) , , ,
, , ,則,

但是
1.39 設(shè) 為 個(gè)相互獨(dú)立的事件,且 ,求下列事件的概率：
(1)個(gè)事件全不發(fā)生；
(2)個(gè)事件中至少發(fā)生一件；
(3)個(gè)事件中恰好發(fā)生一件.
解 (1)
(2)
(3).
1.40 已知事件 相互獨(dú)立且互不相容,求 （注： 表示 中小的一個(gè)數(shù)）.
解 一方面 ,另一方面 ,即 中至少有一個(gè)等于0,所以
1.41 一個(gè)人的血型為 型的概率分別為0.46、0.40、0.11、0.03,現(xiàn)在任意挑選五個(gè)人,求下列事件的概率
(1)兩個(gè)人為 型,其它三個(gè)人分別為其它三種血型；
(2)三個(gè)人為 型,兩個(gè)人為 型；
(3)沒有一人為 .
解 (1)從5個(gè)人任選2人為 型,共有 種可能,在其余3人中任選一人為 型,共有三種可能,在余下的2人中任選一人為 型,共有2種可能,另一人為 型,順此所求概率為：
(2)
(3)
1.42 設(shè)有兩門高射炮,每一門擊中目標(biāo)的概率都是0.6,求同時(shí)發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機(jī)的概率是多少?又若有一架敵機(jī)入侵領(lǐng)空,欲以99%以上的概率擊中它,問至少需要多少門高射炮.
解 用 表示“第 門高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機(jī)”,, 表示“擊中飛機(jī)”.則 , .
(1)
(2) ,
取 .至少需要6門高射炮,同時(shí)發(fā)射一發(fā)炮彈,可保證99%的概率擊中飛機(jī).
1.43 做一系列獨(dú)立的試驗(yàn),每次試驗(yàn)中成功的概率為 ,求在成功 次之前已失敗了 次的概率.
解 用 表示“在成功 次之前已失敗了 次”,表示“在前 次試驗(yàn)中失敗了 次”,表示“第 次試驗(yàn)成功”
則

1.45 某數(shù)學(xué)家有兩盒火柴,每盒都有 根火柴,每次用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中抽出一根.求他用完一盒時(shí)另一盒中還有 根火柴（ ）的概率.
解 用 表示“甲盒中尚余 根火柴”, 用 表示“乙盒中尚余 根火柴”,分別表示“第 次在甲盒取”,“第 次在乙盒取”,表示取了 次火柴,且第 次是從甲盒中取的,即在前 在甲盒中取了 ,其余在乙盒中取.所以
由對(duì)稱性知 ,所求概率為：