正三棱錐P-ABC,棱長(zhǎng)a
設(shè)底面三角形ABC的AB、BC、CA邊中點(diǎn)為D、E、F
易得三角形BPF、AEP、CDP全等,BF、CD、AE交于O,且PO⊥平面ABC
任選PO上一點(diǎn)O',易證明O'到PD、PE、PF的距離相等
當(dāng)OO'等于O'到PD、PE、PF的距離距離時(shí),恰好就是正三棱錐的內(nèi)切球半徑r
OF=OE=OD=(1/3)AE=(1/3)CD=(1/3)BF=a√6/6
PD=PE=PF=AE=CD=BF=a√2/2
PO=√(a^2/2-a^2/6)=√(a^2/3)=a√3/3
O到三個(gè)側(cè)面的距離=1/3
設(shè)OO'=r
(√3/3-r):√3/3=r:(1/3)
r=OO'=(3-√3)a/6
驗(yàn)證：O'到PF的距離O'H=OO'
設(shè)OG⊥PF,O'H//OG
sin∠OFP=OP/PF=√6/3,OG=OF*sin∠OFP=a/3
(PO-r)/PO=O'H/OG
O'H=(PO-r)*OG/PO=(√3/3-1/2+√3/6)a/√3
=(√3-1)a/(2√3)=(3-√3)a/6=r
所以,正三棱錐內(nèi)切球的半徑r=a(3-√3)/6
PO=√3/3