這類問(wèn)題稱為整數(shù)分拆,有相當(dāng)長(zhǎng)的歷史.
分拆中不應(yīng)出現(xiàn)0,否則拆法有無(wú)窮多:4 = 4+0 = 4+0+0 =...
直接認(rèn)為4 = 4也是一種分拆.
設(shè)p(n)表示n的拆法總數(shù),并補(bǔ)充定義p(0) = 1,p(n) = 0對(duì)任意整數(shù)n < 0.
p(n)還沒(méi)有閉形式的通項(xiàng)公式,個(gè)人認(rèn)為也不會(huì)有.
容易得到以p(n)為系數(shù)的形式冪級(jí)數(shù)(生成函數(shù)):
∑{n ≥ 0} p(n)x^n = П{n ≥ 1} (1+x^n+x^(2n)+x^(3n)+...) = П{n ≥ 1} 1/(1-x^n).
結(jié)合Euler的五邊形數(shù)定理,可得到p(n)的一個(gè)遞推公式:
p(n) = ∑{k為非零整數(shù)} (-1)^(k-1)·p(n-k(3k-1)/2)
= ∑{k ≥ 1} (-1)^(k-1)·p(n-k(3k-1)/2)+∑{k ≥ 1} (-1)^(k-1)·p(n-k(3k+1)/2).
注意k為非零整數(shù)時(shí)k(3k-1)/2 > 0,此外只有有限個(gè)整數(shù)k使k(3k-1)/2 ≤ n.
因此求和中只出現(xiàn)小于n的整數(shù),且只有有限項(xiàng)非零.
另外,p(n)還有一個(gè)漸進(jìn)公式(當(dāng)n→∞時(shí)兩邊比值趨于1):
p(n) e^(π√(2n/3))/(4n√3).我做的是統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)中分布數(shù)的計(jì)算，所以是需要0的，不過(guò)把4+0、4+0+0看成一種，1+1+1+1和1+1+1+1+0也是一樣的。比如體系總能量為4e，12個(gè)粒子組成，許可能級(jí)是0、e2e、3e、4e、5e…那么就有5種可能的分布：4個(gè)能量為e的粒子和8個(gè)能量為0的，表示成分拆就是1+1+1+1+8*0，剩下四種是2*2e+10*0，1*e+1*3e+10*0，2*e+1*2e+9*0，1*4e+11*0。所以大神的回答還沒(méi)解決我的問(wèn)題啊。。。。。。。。。。。。。。可以認(rèn)為你這里的0是用來(lái)填補(bǔ)粒子數(shù)的空缺的.所以一旦能量非零的粒子數(shù)確定, 那么0的個(gè)數(shù)也就確定了.因此最終還是求分拆成非零整數(shù)的方法數(shù).你可以驗(yàn)算p(1) = 1, p(2) = 2, p(3) = 3, p(4) = 5, p(5) = 7,...都和你想求的一樣.不過(guò)看你的問(wèn)題背景, 稍有問(wèn)題的是粒子數(shù) < 總能量的情形.此時(shí)需要另外的計(jì)算公式(與粒子數(shù)和總能量相關(guān)).