P=[(n+1)(n+2)(n+3).(n+n)/n^n]^(1/n)
={[(n+1)/n][(n+2)/n][(n+3)/n].[(n+n)/n]}^(1/n)
=[(1+1/n)(1+2/n)(1+3/n).(1+n/n)]^(1/n)
取自然對數(shù),
lnP=(1/n)[ln(1+1/n)+ln(1+2/n)+ln(1+3/n)+.+ln(1+n/n)]
設f(x)=ln(1+x),
則P=[f(1/n)+f(2/n)+...+f(n/n)]/n,
當n→∞時,
應用分部積分法可求得
則當n→∞時,lnP=ln(4/e),即P=4/e.